Тема 3: «Геометрическая вероятность»

Задача 4. На отрезок L длиной 20см наудачу помещен отрезок l длиной 5см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на L попадет также и на отрезок l.

Решение. .

Задание.

13. На отрезке ОА длины L наугад ставится точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину не меньше чем L/3. Ответ. 1/3.

14. В круг радиуса R наудачу помещен круг меньшего радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная в круг R, попадет также и в круг r. Ответ. .

15. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из параллельных прямых. Ответ. .

16. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадрата. Ответ. .

17. Внутри квадрата с вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) наудачу выбрана точка М с координатами (х; у). Найти вероятность событий

А: , В: , С: .

Ответ. .

18. На отрезок АВ длиной 10см наугад бросают точку М. Какова вероятность того, что площадь квадрата со стороной АМ будет больше 25см² и меньше 64см²? Ответ. 0,09.

19. На отрезке ОА длины L числовой оси ОХ наудачу ставятся точки В(х) и С(у), причем . Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше L/2. Ответ. 3/4.

Практическое занятие № 16

Тема: «Теоремы сложения и умножения вероятностей»

При решении задач этой темы используются формулы:

Задача 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятности поражения ими цели равны соответственно 0,7 и 0,8. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Пусть событие А – поражение цели первым стрелком, событие В – поражение цели вторым стрелком. Тогда Р(А)=0,7, Р(В)=0,8, . Событие С – поражение мишени описывается через события А и В следующим образом: . Так как слагаемые представляют собой несовместные события, то

.

Ответ. 0,94

Задание.

1. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень равна 0,6 для первого стрелка и 0,7 для второго стрелка. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок.

Ответ. 0,46.

2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе двух стрелков равна 0,38. Известно, что вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле для второго стрелка. Ответ. 0,7.

3. Для предупреждения пожара установлено два сигнализатора, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что при пожаре сработает первый сигнализатор, равна 0,9, для второго сигнализатора эта вероятность равна 0,95. Найти вероятность того, что при пожаре сработает только один сигнализатор. Ответ. 0,14

4. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведено три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них будет допущена ошибка, превышающая заданную точность. Ответ. 0,432.

5. При стрельбе из пистолета вероятность попадания в «десятку» равна 0,25; в «девятку» - 0,30; в «восьмерку» - 0,15; в «семерку» - 0,12. Найти вероятность того, что стрелок, сделав один выстрел, выбьет: а) не менее 8 очков; б) не более 8 очков? Ответ. а) 0,70; б) 0,45.

6. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула находится в первом справочнике, равна 0,6; во втором – 0,7; в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что нужная формула находится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках; г) нет ни в одном справочнике. Ответ. а) 0,188; б) 0,452 в) 0,336; г) 0,024.

Задача 2. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятность того, что ни на одной из костей не выпадет 6 очков, стала бы меньше, чем 0,3?

Решение. Пусть событие состоит в том, что на i-ой кости не выпало 6 очков. Тогда .Вероятность того, что при бросании n костей на них не выпадет ни одной «6», равна . Чтобы найти n, надо решить неравенство , откуда . Ответ. .

7. Вероятность выигрыша лотерейного билета равна . Сколько надо купить лотерейных билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выиграет, стала бы больше, чем 0,8? Ответ. Не менее 8.

8. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Сколько надо сделать выстрелов, чтобы вероятность того, что не будет ни одного промаха, стала бы меньше, чем 0,4? Ответ. Не менее 5.

Задача 3. Найти вероятность работы схемы, если вероятность работы каждого отдельного элемента равна 0,8.

Решение. Схема представляет собой параллельное соединение подсхем А и В

Подсхема А представляет собой последовательное соединение двух элементов, а подсхема В представляет собой последовательное соединение трех элементов.

Тогда: вероятность работы подсхемы А: Р(А)=0,8 ∙0,8=0,64

вероятность отказа подсхемы А: .

вероятность работы подсхемы В: .

вероятность отказа подсхемы В: .

вероятность отказа всей схемы: .

вероятность работы всей схемы: .

Ответ.0,82432.

Задание. Найти вероятность работы схем (рис. 1 – 6), если вероятность работы каждого отдельного элемента равна 0,8. Ответ округлить до 0,0001.

Ответ. 1) 0,974; 2) 0,952; 3) 0,737; 4) 0,788; 5) 0,733; 6) 0,594.