Основные теоремы

1.1. Закончить формулировки теорем и записать соответствующие формулы.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна …

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна …

Если образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Сумма вероятностей противоположных и событий равна единице, т.е.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления одного из двух совместных событий, равна сумме …

Для трех совместных событий:

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна …

Следствие. Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна …

Вероятность события при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается так: , или .

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна …

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна …

, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Понятия взаимной независимости и попарной независимости

События называются попарно независимыми, если

.

События называются независимыми в совокупности (взаимно независимыми), если они попарно-независимы, а также независимы каждое из них и произведение остальных .

Замечание.

1. если события и несовместны, то они независимы, если и только если или ;

2. если , то и независимы, только тогда, когда условная вероятность события равна ;

3. если , то и независимы, только тогда, когда условная вероятность события равна ;

4. если события и независимы, тогда и независимы, и независимы, и независимы;

5. если события независимы , то противоположные им события также независимы;

6. Понятия взаимной независимости и попарной независимости набора событий не являются равносильными:

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть события независимы в совокупности, причем

_{, .}

Пусть в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одно из них.

Вероятность наступления события , состоящего в появлении хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна …

В частности, если все событий имеют одинаковую вероятность, равную , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

1.2. Заполнить пропуски

Опыт: Подбрасываются два игральных кубика.

Пространство элементарных исходов: _.

Событие – на 1-ом кубике выпало «6»

_.

Событие – на 2-ом кубике выпало «6»

Событие – на обоих кубиках выпало «6»

Событие – на 1-ом кубике выпало нечетное число очков

Событие – на 2-ом кубике выпало нечетное число очков

Событие – сумма очков – нечетна

Событие – на обоих кубиках выпало нечетное число очков

Событие – на 2-ом кубике выпало нечетное число очков и сумма очков – нечетна

Событие – на 1-ом кубике выпало нечетное число очков и сумма очков – нечетна

Определим число исходов, благоприятствующих каждому из следующих событий

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Число всех исходов

Найдем вероятности указанных событий:

Так как, , то события и – …………………

События , , – попарно независимые:

и

Но независимости в совокупности нет. Докажем это.

Так как , то

Получили, что чтд.