3.1. Зв'язок між статистичною і класичною ймовірностями.

Нехай проведено серію дослідів і визначено де загальне число дослідів, -число дослідів у якій поява події А спостерігалася. Проведено також серію дослідів,у яких подія А спостерігалася разів.Тоді можна визначити . Продовжуючи серію дослідів,можна побудувати послідовність

Якщо існує її границя,то вона дорівнює класичній ймовірності:

3.2. Генеральна сукупність та вибірки.

Припустимо, що цех виписує 1000 авторучок за день. Треба з’ясувати якість цієї продукції. Для цього досить оцінити,наприклад,100 штук,так як тут розглядаються однорідні об’єкти однієї природи.

• сукупність об’єктів однієї природи в математичній статистиці називається генеральною сукупністю.

• вибірковою сукупністю або вибіркою називається найменше число випадково вибраних об’єктів з генеральної сукупності, що забезпечує подання її властивостей. В цьому особливість методів мат. статистики: по вузько обстеженому окремому факту, явищу процесу зробити правильний висновок про явище, процес у цілому.

Об’ємом сукупності (вибіркової чи генеральної) називається число об’єктів цієї сукупності. Вибірна називається представницькою, якщо:

1)кожний елемент генеральної сукупності має однакову ймовірність потрапити у вибірку.

2) усі об’єкти,що попали у вибірку мають однакову ймовірність, тобто вибрані випадково.

3.3. Властивості класичної ймовірності.

1. Якщо подія А має ймовірність Р(А), то протилежна подія має ймовірність

.

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю:

.

3. Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці:

.

4. Ймовірність випадкової події А є число, що належить сегменту [ 0 ;1]

3.4. Теорема про додавання ймовірностей подій.

1] Теорема. Якщо події - несумісні,то

.

- ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події.

Наслідок. Нехай події - несумісні і одна з них вірогідна,тобто вони утворюють повну групу; тоді і .

Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу,дорівнює одиниці.

2] Теорема про додавання двох будь – яких ( або сумісних) подій.

- Ймовірність суми двох будь-яких подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з них без імовірності добутку їх

3.5. Теорема множення ймовірностей будь-яких подій.

Введемо визначення:

-Події називаються незалежними, якщо поява однієї з них не змінює ймовірностей появи інших подій.

-Подія А називається залежною від події В,якщо ймовірність події А змінюється залежно від того, відбулась подія В чи ні.

-Умовною ймовірністю події В( ) називають ймовірність події В, обчислену з урахуванням того, що подія А відбулась.

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність другого

.

Події називаються незалежними в сукупності чи просто незалежними,якщо будь-яка їх комбінація незалежна.

Теорема. Ймовірність появи хоч би однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей подій, протилежних даним.

Приклади.

1. Ймовірності появи кожного з двох незалежних подій і відповідно дорівнюють та . Знайти ймовірність появи тільки одного з цих подій.

Розв‘язання.

Введемо означення подій.:

- з‘явилась тільки подія ;

- з‘явилась тільки подія ;

Появлення події означає, що з‘явилась подія і не з‘явилась подія одночасно, тобто = .

Появлення події означає, що з‘явилась подія і не з‘явилась подія одночасно, тобто = .

Таким чином, щоб знайти ймовірність події тільки однієї з подій і , достатньо знайти ймовірність появи однієї, нема різниці якої, з подій і .

Події і несумісні, тому можна застосувати теорему додавання

.

А так же як події і незалежні, незалежні і події і , а також і . Тому якщо

то

то

Застосуємо теорему множення:

і тоді

.

2. Для сигналізації про аварію застосовані два незалежно працюючих сигналізатора. Ймовірність того, що при аварії сигналізатор спрацює, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора і 0,9 для другого. Знайти ймовірність того , що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.

За умовою:

; ;

; ;

=0.95 0.1+0.9 0.05=0.14.

3. Студент розшукує потрібну йому формулу у трьох довідниках. Ймовірність того, що формула знаходиться в 1-ому, 2-ому та 3-ому довідниках, відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того,що формула знаходиться:

а)тільки в одному довіднику;

б)тільки у двох довідниках;

в)в усіх трьох довідниках;

г)хоча б в одному довіднику.

За умовою:

а)

б)

в)

г) =

4. У читальній залі є 6 підручників з теорії ймовірності,з яких 3 переплетені. Бібліотекар взяв наудачу 2 підручника. Найти ймовірність того,що обидва підручники переплетені.

Введемо означення подій:

А- перший відібраний підручник непереплетений.

В- другий відібраний підручник переплетений.

Ймовірність події А

Ймовірність того,що другий підручник переплетений,при умові, що перший відібраний переплетений,тобто, умовна ймовірність події В дорівнює

Шукана ймовірності

.