2. Необхідна ознака збіжності

Теорема. Якщо ряд (1) збігається, границя його загального елемента дорівнює нулю

(3)

Ознака не є достатньою, тобто з виконання (3), узагалі говорячи, не випливає збіжність ряду.

Приклад.

Даний ряд називається гармонійним.

Для нього і .

Проте цей ряд розбігається, що буде показано в наступній лекції.

Якщо умова (3) не виконана, то ряд розбігається.

Визначення. Ряд (1) називається знакододатним, якщо усі його елементи - додатні числа:

Розглянемо достатні ознаки збіжності знакододатних рядів.

3. Ознака Даламбера

Теорема. Якщо існує границя , тоді

1. якщо - ряд збігається;

2. якщо - ряд розбігається;

3. якщо - необхідно додаткове дослідження.

Приклади

1)

Ряд збігається за ознакою Даламбера.

2)

Ознака Даламбера не дає відповіді.

Проте, ,

Отже, не виконана необхідна ознака збіжності.

Ряд розбігається.

4. Ознака Коші (радикальна)

Теорема. Якщо існує границя , то

1) якщо - ряд збігається;

2) якщо - ряд розбігається;

3) якщо - необхідно додаткове дослідження.

Приклади

1)

Отже, ряд збігається за ознакою Коші.

2)

- друга чудова границя.

Ряд розбігається за ознакою Коші.

5. Ознака порівняння

Є два ряди і .

Теорема.

1. Якщо збігається і , то ряд - збігається.

2. Якщо розбігається і , то ряд розбігається.

Зауваження.

Теорема зберігає силу в обох частинах, якщо нерівність або починає виконуватися з деякого номера .

Контрольні питання

1. Що називається числовим рядом?

2. Що таке сума збіжного ряду?

3. Як застосовується необхідна ознака збіжності?

4. Як застосовуються достатні ознаки збіжності Даламбера, Коші, порівняння?

Лекція 2

Знакозмінні ряди

1. Інтегральна ознака збіжності.

2. Знакозмінні ряди: абсолютна і умовна збіжність.

3. Знакопочережні ряди: ознака Лейбница.

4. Наслідок ознаки Лейбница.

1. Інтегральна ознака збіжності (Коші)

Розглянемо знакододатний ряд (1)

і уведемо таку функцію , що

Розглянемо також невласний інтеграл (2)

Теорема. Ряд (1) і інтеграл (2) одночасно збігаються або розбігаються.

Приклад.

Досліджуємо на збіжність гармонійний ряд ,

для нього , так як

Невласний інтеграл розбігається, отже, розбігається і гармонійний ряд.

Інтегральна ознака збіжності є більш сильною, чим ознаки Даламбера і Коші, тобто може вирішувати питання про збіжність ряду у випадках, коли ці ознаки не дають певної відповіді.

2. Знакозмінні ряди.

Визначення. Числовий ряд називається знакозмінним, якщо його елементи є числа різних знаків.

Розглянемо знакозмінний ряд (3)

і відповідний йому знакододатний ряд з абсолютних величин

(4)

Визначення.

Ряд (3) називається абсолютно збіжним, якщо збігаєтья ряд (4). Якщо ряд (3) збігається, а ряд (4) розбігається, ряд (3) називається збіжним умовно (неабсолютно).

Теорема. З збіжності ряду (4) випливає збіжність ряду (3).

Зауваження.

Таким чином, для знакозмінних рядів можливі лише три варіанти:

1. збіжність абсолютна (збігаються ряди (4) і (3)),

2. збіжність умовна (ряд (3) збігається, а ряд (4) розбігається),

3. розбіжність (ряди (4) і (3) розбігаються).

Приклади

1)

Складемо ряд з абсолютних величин

Застосуємо інтегральну ознаку збіжності

Інтеграл збігається, отже, ряд збігається за інтегральною ознакою, отже, ряд збігається абсолютно.

2) - збігається умовно.

3) - розбігається, тому що і не існує; не виконана необхідна ознака збіжності.