2) Уравнения в отрезках .

РЕШЕНИЕ. 1) РАСКРОЕМ СКОБКИ В ЗАДАННОМ УРАВНЕНИИ И ПОЛУЧИМ . ПЕРЕНОСЯ СЛАГАЕМЫЕ В ЛЕВУЮ ЧАСТЬ, ПОЛУЧАЕМ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ . РАЗДЕЛИМ ОБЕ ЧАСТИ ПОЛУЧЕННОГО ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ НА 5. ПОЛУЧАЕМ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ОТРЕЗКАХ . ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ОТСЕКАЕТ НА ОСИ ОХ ОТРЕЗОК , А НА ОСИ ОУ ОТРЕЗОК 5.

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ УДОВЛЕТВОРЯЮТ ДВУМ УРАВНЕНИЯМ ОДНОВРЕМЕННО. ПРИВЕДЁМ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРАВИЛО.

ПРАВИЛО 4. ЧТОБЫ НАЙТИ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ НУЖНО РЕШАТЬ СИСТЕМУ ИЗ УРАВНЕНИЙ ЭТИХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПРАВОК.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ ПОЛУЧАЕМ ИЗ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

(9)

ПРАВИЛО 5. ЕСЛИ ТОЧКА НЕ ЛЕЖИТ НА ПРЯМОЙ ЛИНИИ, ТО РАССТОЯНИЕ ОТ ЭТОЙ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ ЛИНИИ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ПРАВИЛУ:

, (10)

ГДЕ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ДАЁТСЯ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ : .

Контрольные вопросы.

1. Чтобы записать уравнение прямой на плоскости нужно задать …

2. Даны уравнения прямых .

1. Написать формулу вычисления острого угла между прямыми;

2. Условие параллельности прямых;

3. Условие перпендикулярности прямых.

3. Как определить, что точка лежит:

1. выше прямой , 2) на прямой, 3) ниже прямой

если прямая линия задана уравнением .

4. Как определить угол наклона прямой, если задано

общее уравнение прямой .

5. Как определить, расстояние от начала координат до

прямой .

СЛЕДУСЮЩИМИ ПО СЛОЖНОСТИ (ПОСЛЕ ПРЯМОЙ) ЛИНИЯМИ ЯВЛЯЮТСЯ ЛИНИИ, КОТОРЫЕ НАЗЫВАЮТ КРИВЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

ПАРАБОЛЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 ПАРАБОЛА-ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЁННЫХ ОТ ЗАДАННОЙ ПРЯМОЙ И ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ (ТОЧКА НЕ ЛЕЖИТ НА ЗАДАННОЙ ПРЯМОЙ). ЗАДАННАЯ ПРЯМАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ДИРЕКТРИСОЙ, А ФИКСИРОВАННАЯ ТОЧКА ФОКУСОМ ПАРАБОЛЫ (РИС.1). ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ФОКУС И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ДИРЕКТРИСЕ НАЗЫВАЕТСЯ ОСЬЮ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПАРАБОЛЫ С ОСЬЮ СИММЕТРИИ НАЗЫВАЕТСЯ ВЕРШИНОЙ ПАРАБОЛЫ.

П

М

РИМЕР 6 НАПИСАТЬ УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ, КОТОРАЯ ИМЕЕТ ФОКУС (-1,0) И УРАВНЕНИЕ ДИРЕКТРИСЫ Х=1 . РЕШЕНИЕ. ПУСТЬ ТОЧКА С КООРДИНАТАМИ М (х,у) ЛЕЖИТ НА ПАРАБОЛЕ . ТОГДА ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 3 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ М ДО ФОКУСА РАВНО РАССТОЯНИЮ ОТ ТОЧКИ М ДО ДИРЕКТРИСЫ:

ВОЗВОДЯ ОБЕ ЧАСТИ В КВАДРАТ, ПОЛУЧАЕМ (рис.1)

.

рис.1 ИЛИ

ПОЛУЧЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ПАРАБОЛЫ.

ТЕОРЕМА 1 ПАРАБОЛА НА ХУ ПЛОСКОСТИ ИМЕЮЩАЯ:

1)ВЕРШИНУ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ; 2)ФОКУС НА ОСИ ОУ; 3) ДИРЕКТРИСУ

ИМЕЕТ УРАВНЕНИЕ (11)

У ПАРАБОЛЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЙ НА РИС.2а, ПАРАМЕТР .

РИС. 2

НАРИСУЙТЕ ПАРАБОЛУ, У КОТОРОЙ ПАРАМЕТР .

ТЕОРЕМА 2 ПАРАБОЛА НА ОХУ ПЛОСКОСТИ ИМЕЮЩАЯ:

1)ВЕРШИНУ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ; 2)ФОКУС НА ОСИ ОХ; 3) ДИРЕКТРИСУ ИМЕЕТ УРАВНЕНИЕ

(12)

У ПАРАБОЛЫ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА РИС.3 , ПАРАМЕТР .

РИС.3.

НАРИСУЙТЕ ПАРАБОЛУ, У КОТОРОЙ ПАРАМЕТР .

П

РИМЕР 7. НА РИС.4 ПРИВЕДЁН ЧЕРТЁЖ ПАРАБОЛЫ И ВЫПИСАНЫ ЕЁ УРАВНЕНИЯ В СТАРОЙ И НОВОЙ СИСТЕМАХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. НОВАЯ СИСТЕМА ПОЛУЧЕНА ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ СТАРОЙ СИСТЕМЫ.

2

1

РИС.4

В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ ВИД

В НОВОЙ «КАНОНИЧЕСКОЙ» СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД

(СМ. ФОРМУЛУ (1))

. ЛИНИЯ ПАРАБОЛА.

ОКРУЖНОСТЬ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. ОКРУЖНОСТЬ ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЁННЫХ ОТ ФИКСИРОВАНОЙ

ТОЧКИ НАЗЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ И РАДИУСА ХОРОШО ИЗВЕСТНО

(13)

УПРАЖНЕНИЕ. ИСПОЛЬЗУЯ ГРАФИК, НАЙТИ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ РАДИУС (рис.5)

Рис.5

ЭЛЛИПС

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. ЭЛЛИПС-ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ ТАКИХ, ЧТО

СУММА РАССТОЯНИЙ ИХ ДО ДВУХ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧЕК ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ.

ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ФОКУСАМИ ЭЛЛИПСА.

МЫ БУДЕМ РАССМАТРИВАТЬ «КАНОНИЧЕСКУЮ» СИСТЕМУ КООРДИНАТ, В КОТОРОЙ НАЧАЛО КООРДИНАТ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕНТРОМ СИММЕТРИИ ЭЛЛИПСА. А ФОКУСЫ РАСПОЛОЖЕНЫ НА ОДНОЙ ИЗ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ. КРОМЕ ТОГО ЭЛЛИПС СИММЕТРИЧЕН ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ ТАКИХ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР 1.8. НАЙТИ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ С КООРДИНАТАМИ , ДЛЯ КОТОРЫХ СУММА РАССТОЯНИЙ ДО ДВУХ ТОЧЕК РАВНА 4.

РЕШЕНИЕ. СОГЛАСНО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 3 ИМЕЕМ:

УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ЭЛЛИПСА .

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СФОРМУЛИРОВАН В СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЕ 3.