Тема 1 Сложение и умножение вероятностей

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 1 - 4.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Главы 1,2.

Примеры решения задач

Задача №1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет: а) ровно 5 очков; б) не более 3 очков; в) одинаковое количество очков на каждой кости.

Решение. а) Игральная кость имеет шесть граней, поэтому вероятность появления любого количества очков, из шести максимально возможных, равна .

При бросании двух костей 5 очков могут выпасть в следующих комбинациях: 1 + 4, 4 + 1, 2 + 3 и 3 + 2. Эти четыре события образуют полную группу событий, так как они полностью исчерпывают все возможные варианты появления 5 очков.

Появление двух чисел при бросании двух костей есть совместные события, следовательно, вероятность совместного наступления этих событий равна произведению вероятностей наступления каждого из них.

.

Очевидно, вероятность появления любой пары чисел будет точно такой же.

В тоже время, при одном бросании костей может выпасть только одна из четырех возможных пар, то есть появление какой-либо из них является несовместным событием. Вероятность события, состоящего в наступлении одного из несовместных событий, образующих полную группу событий, равна сумме вероятностей этих событий.

.

Таким образом, вероятность того, что при одном бросании двух игральных костей выпадет 5 очков, равна .

б) Появление при бросании двух костей не более 3 очков означает, что могут выпасть только следующие комбинации 1+1, 1+2 и 2+1. Как было выяснено выше, вероятность появления каждой из этих пар чисел равна , а, соответственно, вероятность появления хотя бы одной из них

.

Следовательно, вероятность того, что при одном бросании двух костей выпадет не более 3 очков, равна .

в) Выпадение одинакового количества очков на каждой из двух костей означает появление следующих вариантов: 1+1, 2+2, 3+3 и так далее, всего шесть вариантов. Отсюда, очевидно

.

Тема 2 Повторные независимые испытания.

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Глава 5.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 3.

Примеры решения задач

Задача №2. Вероятность прорастания семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян прорастут: а) три; б) не менее четырех.

Решение. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность что событие А появится в этих n испытаниях т раз, выражается формулой Бернулли

, где , .

а) В нашем случае, p = 0,8, n = 5, m = 3, q=1 – p. Следовательно,

.

б) Прорастание не менее 4 семян означает, что должно взойти либо четыре, либо пять растений. Пусть событие А означает, что из 5 семян взойдут не менее 4 семян; событие В – из 5 взойдут 4; D– из 5 взойдут 5. Поскольку события В и D несовместны, вероятность наступления события А равна сумме вероятностей этих событий

.

Вероятность события В

.

Для события D, m = n, значит , и вероятность наступления события D

.

Таким образом, вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех

.

Задача 3. В инкубатор заложили 240 яиц. Вероятность того, что из каждого яйца вылупится живой цыпленок, равна 0,88. Найти вероятность того, что вылупится: а) ровно 220 цыплят; б) не менее 215, но не более 225; в) более 225 цыплят.

Решение. а) Поскольку вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие в n таких испытаниях наступит ровно k раз, определяется с помощью локальной теоремы Лапласа.

φ_(х), где φ_(х) , .

Из условия задачи n= 240, p = 0,9, q = 1 – р = 0,1, k = 220. Тогда

.

Из таблицы Приложения 1 находим φ_(0,86) = 0,2756. Искомая вероятность равна

.

б) В данном случае необходимо определить вероятность того, что событие в π испытаниях наступит не менее k₁ раз, но не более k₂. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа

, где , .

Функция называется функцией Лапласа. В таблице Приложения 2 даны значения этой функции для интервала 0<х<5. При х>5 функция Ф_(х) = 0,5. При отрицательных значениях х, в силу нечетности функции Лапласа, Ф_(-х) = – Ф_(х), то есть отрицательные значения х соответствуют отрицательным значениям Ф_(х). Используя функцию Лапласа, имеем

.

По условию задачи n = 240, p = 0,9, q = 0,1, k₁ = 215, k₂ = 225. По приведенным выше формулам, находим α и β

, .

Отсюда

.

В таблице Приложения 2 находим Ф_(1,94) = 0,4738 и Ф_(–0,22) = –0,0871. Тогда окончательно

.

в) В данном случае необходимо определить вероятность того, что событие в η испытаниях наступит более k₁ раз. Очевидно, при этом k₂ = п, и интегральная теорема будет иметь вид

.

Значения а и β

, .

В таблице Приложения 2 находим Ф_(2,15) = 0,4842 и Ф_(5,16)=0,5. Отсюда имеем: