4.5. Приклади для самостійної роботи.

Знайти умовний екстремум функції на заданій лінії.

1) , якщо ;

2) , якщо ;

3) , якщо ;

4) , якщо ;

5) , якщо ;

6) , якщо ;

7) , якщо ;

8) , якщо ;

9) , якщо ;

10) , якщо ;

11) , якщо

12) , якщо

13) , якщо ;

14) , якщо ;

15) , якщо ;

16) , якщо ;

17) , якщо ;

18) , якщо ;

19) , якщо 20) ,

якщо ;

21) , якщо 22) , якщо ;

23) , якщо ; 24) ,

якщо ;

25) , якщо ; 26) , якщо ;

27) , якщо ; 28) , якщо

29) , якщо ; 30) , якщо .

4.6. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних

Задача визначення найбільших і найменших значень неперервних функцій двох змінних, як і у випадку функцій, залежних від однієї змінної, має важливе значення при розв’язуванні багатьох прикладних і теоретичних питань.

Сама можливість і ступінь труднощів розв’язування цієї задачі залежать від виду області визначення функції і від вимог, що накладаються на досліджувану функцію. Так, неперервна функція, визначена в необмеженій чи незамкнутій області, може і не досягати найбільшого і найменшого значень в точках області.

Наприклад, функція в довільній необмеженій області площини не досягає свого найбільшого значення, тому що з віддаленням точки від початку координат значення функції збільшується необмежено.

Тому природно розглядати задачу знаходження найменшого і найбільшого значень неперервних функцій, визначених у замкнутій обмеженій області. Крім того, зажадаємо, щоб функції мали частинні похідні у внутрішніх точках своїх областей задання.

За теоремою Вейєрштрасса[4,5], в замкнутій обмеженій області знайдуться точки , в яких неперервна функція приймає відповідно найбільше і найменше значення.

Якщо такі точки лежать усередині області, то це є точки екстремумів функції, що містяться серед її стаціонарних точок. Так як функції, що розглядаються, мають частинні похідні у всіх внутрішніх точках області, то їх стаціонарні точки можна визначити. Однак функція може приймати найменше і найбільше значення ще в точках границі області; ці точки можуть бути точками умовних екстремумів функції на граничній лінії.

Таким чином, ми приходимо до наступного правила визначення найбільшого і найменшого значень функцій двох змінних:

для того, щоб знайти найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкнутій області , потрібно знайти значення функції в стаціонарних точках цієї області, а також її найбільше і найменше значення в точках границі області.

Найбільше з цих значень буде найбільшим значенням функції в області , а найменше з цих значень – найменшим значенням функції в області .

Пояснимо сказане прикладами.

Приклад 31. Знайти найбільше значення функції

у трикутнику, обмеженому осями Ох, Оу і прямою (рисунок 21)

Рис.21

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні першого порядку функції

і прирівнюємо їх до нуля:

Розв’язуючи цю систему, одержуємо, що похідні перетворюються в нуль у єдиній точці , в якій . В усіх точках границі області функція дорівнює нулю, тому найбільше значення досягається в знайденій вище точці .

Приклад 32.Знайти найбільше і найменше значення функції на колі .

Розв’язування. Знаходимо перші частинні похідні і прирівнюємо їх до нуля:

Розв’язуючи отриману систему, визначаємо одну стаціонарну точку , що лежить усередині області. Значення функції в цій точці дорівнює нулю. Далі знайдемо найбільше і найменше значення функції на границі, тобто на колі . Виразимо з рівняння кола через та підставимо в функцію:

.

Знаходження найбільшого і найменшого значень функції двох змінних на колі звелося до знаходження найбільшого і найменшого значень функції однієї змінної на сегменті .

Визначимо критичні точки цієї функції на інтервалі й обчислимо значення в цих точках і в кінцевих точках інтервалу: . Маємо , звідси . Значення функції відповідно дорівнюють:

.

Таким чином, функція приймає найбільше значення, що дорівює 8, в точках і найменше значення, що дорівнює – 4, в точках .

Приклад 33. На площині заданий трикутник ОАВ (рисунок 22), утворений осями Ох, Оу і прямою . Потрібно знайти таку точку цього трикутника, для якої сума квадратів її відстаней до вершин трикутника була б найменшою.

Розв’язування. Так як вершини О, А и В трикутника мають відповідно координати , то можемо написати вираз для вищезгаданої суми квадратів відстаней від шуканої точки до вершин трикутника:

.

Рис.22

Знаходимо і прирівнюємо до нуля частинні похідні функції; одержуємо систему рівнянь:

З цієї системи визначаємо . Точці відповідає значення функції, що дорівнює .

Досліджуємо далі функцію на контурі трикутника. При дослідженні функції в точках катета ОА покладаємо . Одержуємо

,

причому . Знайдемо критичні точки цієї функції в інтервалі , маємо

Значення функції в цій точці і на кінцях проміжку відповідно дорівнюють: , , .

Таким чином, функція приймає найменше значення, що дорівнює в точці з координатою (відповідно ). Таким же чином досліджується функція на катеті ОВ, найменше значення функції дорівнює і досягається в точці з координатою (відповідно ).

Для дослідження значень функції на гіпотенузі АВ, підставимо в функцію замість змінної її вираз через , знайдений з рівняння прямої АB; в результаті одержуємо

, .

Найменше значення функції на гіпотенузі АВ знаходиться таким же способом, як і на катетах ОА й ОВ. Воно досягається в точці і дорівнює . Порівнюючи отримані значення функції, одержуємо, що найменше значення, яке дорівнює , функція приймає в точці .

Приклад 34. Електрична живильна мережа з паралельним включенням за допомогою затисків А і В включається до джерела струму і має три приймачі струму , що споживають, відповідно, струми . Потрібно, при наперед заданому допустимому загальному падінні потенціалів ланцюга , визначити площі перерізів проводів так, щоб на всю мережу була витрачена найменша кількість міді.

Рис.23

Розв’язування. Очевидно, досить обмежитися розглядом одного з проводів, наприклад , тому що інший провід знаходиться в аналогічних умовах. Позначимо довжини ділянок (у метрах), через - площі їхніх поперечних перерізів (у кв. міліметрах). Тоді вираз

являє собою об’єм усієї витраченої міді (у кубічних сантиметрах). Нам потрібно добитися найменшої величини об’єму, приймаючи до уваги, що загальне падіння потенціалу в проводі повинне дорівнювати .

Легко порахувати, що у ланках ланцюга будуть протікати відповідно струми , , . Якщо позначити опір мідного дроту довжиною в 1 м і з перетином через , то опори цих ланок будуть

, , ,

а відповідні падіння потенціалів на цих ланках, згідно із законом Ома, запишуться так:

, , .

Введемо у функцію для зручності замість змінних величини , зв'язані умовою .

Тоді

, (4.4)

причому для незалежних змінних виконуються нерівності:

. (4.5)

Прирівнявши до нуля частинні похідні по змінних , одержимо систему

звідки (знову вводячи )

.

Позначивши загальну величину всіх цих відношень через , маємо

, , .

Величина легко визначається з умови :

.

Так як область визначення функції (4.4) відкрита, то безпосередньо теорему Вейєрштрасса не можна застосовувати. Врахуємо, однак, що границя області визначається співвідношеннями (4.5). Тоді, при наближенні точки до границі, величина необмежено збільшується. Звідси вже можна зробити висновок, що знайдені значення доставляють функції найменше значення.

Повертаючись до основних змінних , знаходимо найбільш вигідну площу перерізу проводів:

.

Приклад 35. Перетин каналу має форму рівнобічної трапеції даної площі . Як вибрати його розміри, щоб поверхня каналу, яка омивається, була найменшою?

Рис.24

Розв’язування. Нехай довжина бічної сторони трапеції дорівнює , кут між бічною стороною і нижньою основою дорівнює . За відомою площею трапеції визначимо довжину нижньої основи із співвідношення

,

маємо

Позначивши через довжину каналу, знаходимо омивану поверхню каналу:

.

Довжина каналу скінченна, тому омивана поверхня каналу залежить від вибору параметрів і , і задача звелася до знаходження найменшого значення функції двох змінних в області

.

Знайдемо екстремуми функції . Для цього визначимо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Далі, з другого рівняння знаходимо:

.

Підставимо вираз для в перше рівняння

.

Звідси .

Таким чином, точка з координатами , є критичною, у цій точці .

Далі визначимо найменше значення функції на граничній напівпрямій . У цьому випадку

. (4.6)

Прирівнявши до нуля першу похідну функції по змінній , одержуємо

,

звідки . Критичною точкою для функції (4.6) є тільки точка , тому що .

Похідна другого порядку на інтервалі , тому в точці функція приймає мінімум, що дорівнює . За теоремою 5 цей мінімум і є найменшим значенням функції (4.6). Відзначимо, що

тобто при наближенні точки до граничних прямих ліній і , чи при необмеженому зростанні , величина необмежено збільшується.

З цього випливає, що найменше значення функція приймає або в критичній точці , або в точці умовного екстремуму .

Порівнюючи ці значення, одержуємо, що найменшу омивану поверхню має канал, коли довжина нижньої основи трапеції та довжина бічної сторони трапеції дорівнюють і величина кута нахилу бічної сторони до основи дорівнює .