1.2. Метод трапеций.

На частичном отрезке интегрирования   подынтегральная функция   заменяется интерполяционным полиномом первой степени, т.е. прямой, проходящей через точки   и   (рис. 4.4):

 

.

 

Поставляя это выражение в формулу (4.12) и выполняя интегрирование по частичным отрезкам приходим к формуле трапеций:

 

.

(4)

 

Н азвание метода связано с тем, что интеграл по отрезку   заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям функции   на краях отрезка, и высотой, равной   (рис. 4.4).

В случае постоянного шага интегрирования формула трапеций принимает вид:

 

.                         (5)

 

1.3. Метод Симпсона (метод парабол).  Разобьем интервал интегрирования   на четное число n равных отрезков с шагами  . На каждом отрезке  , содержащем три узла, заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом второй степени, т.е. параболой

 

 

Интегрируя это выражение на отрезке   получим

 

 

.                                                   (6)

 

Приближенное значение интеграла на интервале   получим суммированием частичных интегралов (4.21) по всем отрезкам  :

 

 

.     (7)

 

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

 

Вычисление интеграла с заданной точностью.  На практике контроль за точностью получаемого результата можно организовать с помощью двойного пересчета. Пусть вычисления проводились с постоянным шагом h,  – вычисленное с шагом h приближенное значение интеграла I.  Если затем вычислить приближенное значение   с шагом  , то в качестве оценки погрешности последнего вычисленного значения можно рассматривать величину

  .

 

Если необходимо получить результат с заданной точностью  , то  вычисления повторяют с последовательно уменьшающимся (вдвое) шагом до тех пор, пока не выполнится условие

 

.                                 (8)

  принимается за приближенное значение интеграла с требуемой точностью.

2. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса)

Рассмотренные выше квадратурные формулы применяются для интегрирования функций f(x) невысокой степени гладкости (не выше f(x) C²[a, b]). Для данного класса функций они просты и удобны. И как показано выше, для повышения точности результатов, как один из подходов, всегда стремятся отрезок интегрирования разбивать на достаточно большее число частей. Однако практикой доказано, что для класса функций высокой степени гладкости (f(x) C^k[a,b], k>2) точность этих квадратурных формул не повышается с ростом k, т.е. имеет место так называемое явление насыщения численного метода. Для такого класса функций разработаны другие квадратурные формулы такого же типа, что и раньше , но посредством их структурного реформирования путем подбора в них (2n+1) параметров: n узлов x_i, n коэффициентов q_i и самого числа n.

Все эти параметры выбираются так, чтобы квадратурная сумма возможно меньше отличалась от точного значения интеграла для всех функций f из некоторого класса.

Квадратурная формул Гаусса:

(9)

_,

где , – узлы формулы и – соответствующие им коэффициенты, при берутся из таблицы 1

.

Таблица 1.

n	ti	ci
4	t1 = t4 = 0,861136312 t2 = t3 = 0,339981044	c1 = c4 = 0,347854845 c2 = c3 = 0,652145155
5	t1 = t5 = 0,906179846 t2 = t4 = 0,538469310 t3 = 0	c1 = c5 = 0,236926885 c2 = c4 = 0,478628670 c3 = 0,568888889
. . .