2. Интегральное исчисление.
2.1. Неопределенный интеграл
Функция
F(x)
называется первообразной
функции f(х)
на
некотором промежутке D,
если для всех x
из D
выполняется:
Например,
F(х)=sinх
является
первообразной для функций
f(х)
= cos
x
на всей числовой прямой, т. к.
для всех
х.
Если F(х) — первообразная для функции f(х), то любая другая первообразная для f(х) может быть представлена в виде F(х)+ С, где С—произвольная постоянная.
Неопределенным
интегралом
от функции f(х)
называется множество
всех первообразных этой функции и
обозначается
;
здесь
— знак интеграла, f(х)
— подынтегральная функция,
х
—
переменная интегрирования.
Согласно
определению,
,
где
Свойства дифференциала:
1. dc = 0, где с = const ,
2.
,
3. d(u+ v)=du + dv,
4. d(uv)= udv + vdu ,
5.
Свойства неопределенного интеграла.
1.
2.
3.
,
где с
= const
4.
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Таблица основных интегралов:
1.
|
10.
|
2.
|
11.
|
3.
|
12.
|
4.
|
13.
|
5.
|
14.
|
6.
|
15.
|
7.
|
16.
|
8.
|
17.
|
9.
|
18.
|
Интегралы иногда можно найти с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных свойств неопределенного интеграла.
Пример
1. Найти
2.2. Методы интегрирования
а) Во многих случаях интегралы можно найти путем введения новой переменной интегрирования. Этот метод называется методом подстановки, или методом замены переменной. Если x=g(t), тогда справедлива следующая формула замены переменной:
,
так как
.
Пример
2.
Найдем интеграл
Необходимо ввести новую переменную t таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному. Обозначим t=5x+6.
Тогда
x=(t-6)/5.
– замена. Следовательно,
.
Подставим
найденные выражения в
исходный интеграл:
Пример
3. Найдем
интеграл:
Введем переменную t = 1 - x2. Тогда можно продифференцировать
,
.
Следовательно,
.
Подставим найденные выражения в интеграл:
б)
Существует еще один метод интегрирования:
интегрирование
по частям. Если
функции и(х)
и
v(х)
определены
и дифференцируемы
на некотором множестве D,
тогда
справедлива формула
интегрирования по частям:
.
Эта формула позволяет свести вычисление
к вычислению
,
который иногда может оказаться более
простым.
Пример
4. Найдем
интеграл:
Обозначим u = x; dv = sinx dx.
Для
того, чтобы воспользоваться формулой
интегрирования
по частям, необходимо, найти du
и v.
Найдем:
и
= х, значит
dи
= dx;
dv
= sinx
dx
, значит
Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:
Пример
5. Найдём:
Обозначим: u=x, dv=e-x dx.
Тогда
du=dx.
Найдем v:
v=
и,
следовательно,
Таким
образом, v
=
.
Поставим найденные выражения в формулу
интегрирования по частям:
