2.2.1. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называется число
,
где
.
Другие
обозначения:
или
.
Свойства скалярного произведения векторов:
.
- коммутативный закон.
.
- ассоциативный закон.
.
- дистрибутивный закон.
.
Скалярное произведение ортов
:
.
Скалярное произведение векторов
и
,
заданных своими координатами:
.
.
Перемножив по правилам умножения многочлена на многочлен и учитывая свойство , получаем:
.
.
Выражение длины вектора через скалярное
произведение.
Примем
:
.
.
Условие неперпендикулярности векторов.
или
.
Механический смысл скалярного произведения:
Работа А постоянной силы
,
действующей на материальную точку при
её перемещении из точки А в точку В
определяется формулой
.
► Что называется скалярным произведением векторов и ?
► Перечислите свойства скалярного произведения векторов.
► Укажите задачи, при решении которых используется скалярное произведение векторов?
2.2.2. Векторное произведение векторов
Векторным
произведением векторов
и
называется вектор
,
который удовлетворяет таким условиям:
Длина вектора
,
,
то есть площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
.Вектор
.Если смотреть с конца вектора векторы создают правую тройку.
Обозначение:
.
Площадь треугольника, построенного на
векторах
и
:
.
Площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
:
.
Свойства векторного произведения.
.
- антикоммутативность.
.
- ассоциативный закон.
.
- дистрибутивный закон.
. Векторное произведение ортов:
,
Правило для запоминания:
. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами:
в базисе .
– основная
формула для вычисления векторного
произведения.
. Условие коллинеарности векторов:
или
► Что называется векторным произведением векторов и ?
► Перечислите свойства векторного произведения векторов.
► Укажите задачи, при решении которых используется векторное произведение векторов.
2.2.3. Смешанное произведение векторов
Смешанным
произведением трёх векторов
называется векторное произведение двух
из них, помноженное скалярно на третий,
то есть
.
Другие
обозначения:
.
Смешанное произведение векторов – это число.
Пусть
в базисе
.
Геометрический смысл смешанного произведения векторов
П
усть
векторы
некомпланарны. Сведём их к одному началу
и построим на них параллелепипед.
Объём
параллелепипеда вычисляется по формуле:
.
Объём
пирамиды, построенной на векторах
и
вычисляется по формуле:
.
Отметим: если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
► Что называется смешанным произведением векторов и ?
► Укажите формулу, по которой вычисляется смешанное произведение векторов и .
► Сформулируйте условие компланарности трёх векторов
Пример 2.1.
Заданы векторы
в базисе
и вектор
.
Определить:
длину вектора :
;скалярное произведение векторов и :
;векторное произведение векторов и :
;площадь параллелограмма
и площадь треугольника
,
построенных на векторах
и
;смешанное произведение векторов
:
;объём параллелепипеда
и объём треугольной пирамиды
,
построенных на векторах
и
;коллинеарны ли векторы и ;
компланарны ли векторы и ;
координаты вектора
;косинус угла между векторами и :
;проекцию вектора на вектор :
.
Решение:
длина вектора :
;скалярное произведение векторов и :
;
векторное произведение векторов и :
площадь параллелограмма и площадь треугольника , построенных на векторах и :
,
.
,
,
.
смешанное произведение векторов и :
объём параллелепипеда
и объём треугольной пирамиды
,
построенных на векторах
и
:
,
.
коллинеарны ли векторы и :
условием
коллинеарности векторов
и
является пропорциональность их
одноимённых координат:
,
,
следовательно векторы
и
не
коллинеарны;
компланарны ли векторы : условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
;
для заданных векторов
-
,
следовательно векторы
не компланарны;координаты вектора:
косинус угла между векторами и :
,
;
проекция вектора на вектор :
.
Пример 2.2.
Проверить, что векторы
создают базис. Написать разложение
вектора
по этому базису:
.
Решение:
Векторы создают базис, если их смешанное произведение не равно 0.
векторы
создают базис.
Положим:
,
Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему:
.
Решаем систему методом Крамера:
тогда
.
Проверка правильности решения системы:
Записываем разложение вектора
по базису:
Проверка правильности записи:
