2.2 Примеры выполнения типовых заданий контрольной работы №1

Задание 1. Вычислить период кристаллической решетки меди. Определить объем, приходящийся на один атом.

Решение. Рентгеновская плотность кристалла связана с периодом кубической решетки соотношением: , где – масса атома; – число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку (кратность ячейки).

Масса атома , где – молярная масса; – число Авогадро. Плотность меди , молярная масса меди , а элементарная ячейка меди представляет собой гранецентрированный куб. В случае гранецентрированного куба .

Тогда .

На один атом решетки приходится объем:

.

Задание 2. Определить изменение длины свободного пробега электронов при нагревании медного проводника от температуры до температуры .

Решение. Согласно квантовой теории, величина удельного сопротивления металлов связана с длиной свободного пробега электронов соотношением:

,

где – заряд электрона; – длина свободного пробега электрона; – концентрация свободных электронов; – постоянная Планка.

Концентрация свободных электронов в меди:

,

где – плотность меди; – число Авогадро; – молярная масса меди.

Подставляя выражение для концентрации свободных электронов в выражение для определения величины удельного сопротивления, получаем выражение для нахождения длины свободного пробега электронов в металле:

.

Тогда при температуре длина свободного пробега электронов составит , а при температуре

длина свободного пробега электронов ,

где – удельное электрическое сопротивление меди при температуре ; – температурный коэффициент удельного электрического сопротивления меди.

Подставляя числовые значения, находим:

Задание 3. Определить, во сколько раз изменится удельная теплоемкость меди при изменении температуры от температуры до температуры .

Решение.

[Внимание] Согласно закону Видемана – Франца, для металлов отношение коэффициента теплопроводности к удельной электрической проводимости пропорционально температуре: ,

где – число Лоренца; – удельная электрическая проводимость. [.]

Отсюда следует, что , или . Тогда, .

Подставляя числовые значения, находим:

.

Задание 4. Вычислить интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при температуре вблизи уровня Ферми, если концентрация свободных электронов в металле .

Решение. При температуре распределение электронов по энергиям описывается выражением:

Для решения воспользуемся этим выражением, переписав его в виде:

где – разность энергий между ближайшими энергетическими уровнями; – изменение числа электронов при переходе на соседний уровень.

[Внимание] Согласно запрету Паули в каждом состоянии может находиться не более одного электрона, но так как электроны могут различаться проекцией спина , то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов. [.]

Следовательно,

Энергия Ферми при температуре определяется выражением:

.

Соотношение для энергии Ферми позволяет, зная концентрацию электронов, найти энергию Ферми , или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.

Подставляя выражение для в выражение для энергии Ферми и учитывая, что и , получаем интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при температуре вблизи уровня Ферми:

Такая ничтожно малая величина между соседними энергетическими уровнями свободных электронов позволяет считать энергетический спектр свободных электронов в металле квазинепрерывным.

Задание 5. Определить среднее значение энергии свободных электронов в меди вблизи температуры .

Решение. Среднее значение энергии свободных электронов в металле определяется выражением:

.

При температуре функция распределения свободных электронов по энергиям определяется выражением:

, поэтому верхний предел интегрирования следует заменить на . Интегрируя, получаем:

.

Энергия , которую могут иметь электроны в металле при температуре , связана с концентрацией свободных электронов соотношением:

.

Концентрация электронов может быть найдена по формуле:

,

где – плотность меди; – число Авогадро; – молярная масса меди.

Тогда формула для определения среднего значения энергии свободных электронов в меди вблизи температуры может быть записана в виде:

.

Подставляя числовые значения , , , , определим числовое значение :

Задание 6. Вычислить максимальную энергию – энергию Ферми , которую могут иметь свободные электроны в металле (литий Li, натрий Na, калий K, рубидий Rb, цезий Cs, медь Cu, серебро Ag, золото Au) при температуре .

Ответ: , ,

, , , ,

, , .

Задание 7. Определить минимальную волну де Бройля для свободных электронов в металле с простой кубической кристаллической решеткой при температуре , если на каждый атом кристалла приходится один свободный электрон, а период решетки равен а.

Решение. Длина волны де Бройля электрона связана с импульсом электрона соотношением . Следовательно , где – импульс Ферми (максимальный импульс, которым может обладать электрон при температуре ).

Энергия Ферми при температуре определяется выражением:

.

В кристалле с простой кубической решеткой на объем каждой элементарной ячейки приходится один атом и соответственно один свободный электрон. Поэтому концентрация свободных электронов определяется по формуле .

Тогда, минимальная волна де Бройля для свободных электронов в металле с простой кубической кристаллической решеткой при температуре определится выражением .

Полученный результат означает, что длина волны де Бройля свободных электронов в металле превышает среднее расстояние между электронами. Это служит еще одним подтверждением, что газ свободных электронов в металле является вырожденным.

Задание 8. Определить среднюю скорость свободных электронов в металле при температуре , если энергия Ферми для этого металла .

Решение. Скорость свободных электронов в металле связана с их кинетической энергией соотношением:

.

Среднее значение любой физической величины , зависящей от энергии , определяется соотношением:

,

где – функция распределения свободных электронов по энергиям.

Полагая , находим:

.

При температуре верхний предел интегрирования следует заменить на и тогда:

,

где – скорость Ферми (максимальная скорость электронов в металле при температуре ).

Подставляя числовые значения , , находим среднюю скорость свободных электронов в металле при температуре , для которого энергия Ферми :

.

Задание 9. Определить число свободных электронов, приходящихся на один атом калия, если энергия Ферми калия , а плотность калия .

Решение. Энергия Ферми при достаточно низких температурах слабо зависит от температуры. Поскольку в широком диапазоне температур, вплоть до температуры плавления калия, выполняется условие , то с достаточной точностью можно считать, что

.

Если принять, что на один атом калия приходится свободных электронов, тогда концентрация свободных электронов и концентрация атомов калия определяются соотношением .

Найдем концентрацию атомов калия . Относительная атомная масса калия , а молярная масса калия .

Число молей в единице объема вещества определяется выражением , а количество частиц в одном моле – постоянной Авогадро . Следовательно, концентрация атомов калия , а концентрация свободных электронов:

.

Подставляя выражение для концентрации свободных электронов в выражение для энергии Ферми, получаем:

.

Находим выражение для определения числа свободных электронов, приходящихся на один атом калия:

.

Подставляя числовые значения , , , , , , находим число свободных электронов, приходящихся на один атом калия:

.

[Выводы] Таким образом, концентрация свободных электронов в металле может быть сравнима с концентрацией атомов. [.]

Задание 10. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при , если её удельное сопротивление при этой температуре равно .

Ответ: ; .

Задание 11. Определить количество атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку решетки в кристаллах с простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубической решеткой.

Решение. В простой кубической решетке атомы расположены в вершинах куба. В кубической объемно-центрированной решетке атомы расположены в вершинах куба, а один атом – в центре его объема. В кубической гранецентрированной решетке атомы расположены в вершинах куба и в центре каждой грани.

Оперируя с элементарной ячейкой, необходимо иметь в виду, что в реальном кристалле такая ячейка окружена со всех сторон другими ячейками и поэтому не все атомы, относящиеся к рассматриваемой ячейке, принадлежат только этой ячейке.

На простую кубическую решетку приходится один атом как сумма от долей атомов, находящихся в вершинах куба – .

На объемно-центрированную кубическую решетку приходится два атома: один в центре и один как сумма от долей атомов, находящихся в вершинах куба – .

На гранецентрированную кубическую решетку приходится четыре атома: один как сумма от долей атомов, находящихся в вершинах куба, и три атома как сумма от долей атомов, находящихся в центре каждой грани – .

[Определение] Напомним: количество атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку решетки, называют базисом решетки; координационное число показывает количество атомов, находящихся на наиболее близком и равном расстоянии от любого выбранного атома в решетке (для простой кубической решетки и для объемно-центрированной кубической решетки ; для гранецентрированной кубической решетки и для гексагональной плотноупакованной решетки ). [.]

Задание 12. Определить коэффициент компактности в кристаллах с объемно-центрированной кубической решеткой.

Решение. Коэффициент компактности решетки равен отношению суммарного объема атомов, входящих в решетку, к объему решетки:

,

где – радиус атома (иона); – базис решетки; – объем элементарной ячейки.

Определим период кристаллической решетки (длину ребра элементарной кристаллической решетки), учитывая, что атомы объемно-центрированной кубической решетки соприкасаются по диагонали , длина которой равна 4 атомным радиусам – .

Длина диагонали куба определяется выражением , где а – длина ребра куба. Тогда , откуда длина ребра куба , а объем элементарной ячейки .

Для объемно-центрированной кубической решетки базис решетки .

Тогда коэффициент компактности объемно-центрированной кубической решетки:

.

Задание 13. Определить коэффициенты компактности в кристаллах с простой и гранецентрированной кубической решеткой.

Ответ. Коэффициент компактности для кристаллов с простой кубической решеткой – . Коэффициент компактности для кристаллов с гранецентрированной кубической решеткой – .

Задание 14. В проводнике сечением 1 протекает ток силой 1 . Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов в направлении электрического поля, если в 1 проводника содержится электронов проводимости.

Решение. Плотность тока определяется выражением , где – концентрация электронов; – заряд электрона; – скорость упорядоченного движения электронов в направлении поля. Плотность тока связана с силой тока соотношением , где – площадь поперечного сечения проводника. Следовательно,

.

Задание 15. Определить температурный коэффициент линейного расширения и удлинение проволоки из нихрома, если известно, что при изменении температуры от температуры до температуры электрическое сопротивление проволоки изменяется от 50 Ом до 56,6 Ом. Длина проволоки в холодном состоянии м. Температурный коэффициент удельного сопротивления нихрома принять равным .

Решение. Температурный коэффициент сопротивления проволоки:

.

Воспользуемся известной формулой, связывающей температурный коэффициент удельного сопротивления , температурный коэффициент сопротивления и температурный коэффициент линейного расширения :

.

Тогда

.

Удлинение проволоки:

.

Задание 16. Сопротивление проволоки при температуре в 3 раза больше, чем при температуре . Найти температурный коэффициент удельного сопротивления материала проволоки.

Решение. Сопротивление проволоки при температуре определяется выражением , где – сопротивление проволоки при температуре , например, при температуре ; – температурный коэффициент удельного сопротивления материала проволоки. Сопротивление проволоки при температуре – . Тогда , откуда температурный коэффициент удельного сопротивления .

Задание 17. Определить, во сколько раз сопротивление R_~ медного провода круглого сечения диаметром на частоте больше сопротивления этого провода постоянному электрическому току.

Решение. Глубина проникновения электромагнитного поля в проводник связана с физическими параметрами материала проводника соотношением: , где – магнитная постоянная; – магнитная проницаемость меди (медь является диамагнетиком); – частота переменного тока; – удельное сопротивление меди. Тогда для меди на частоте глубина проникновения электромагнитного поля .

Поскольку , имеет место сильно выраженный поверхностный эффект. В случае сильно выраженного поверхностного эффекта коэффициент увеличения сопротивления провода круглого сечения определяется выражением:

.

Задание 18. Вычислить глубину проникновения электромагнитного поля в медный проводник на частоте и глубину проникновения электромагнитного поля в медный проводник на частоте .

Ответ: , .

Задание 19. Удельное сопротивление меди, содержащей 0,3 ат.% олова при температуре , составляет . Определить отношение удельных сопротивлений меди при температурах и .

Решение. Согласно правилу Маттисена, удельное сопротивление реальных металлов представляет собой сумму двух составляющих:

,

где тепловая составляющая удельного электрического сопротивления, обусловленная рассеянием электронов при тепловых колебаниях узлов кристаллической решетки; – остаточное удельное электрическое сопротивление, связанное с рассеянием электронов на неоднородностях структуры.

При температуре тепловая составляющая . Вблизи температуры удельное электрическое сопротивление реального металлического проводника равно остаточному удельному сопротивлению.

Тогда .

Задание 20. Удельные электрические сопротивления чистой меди при температуре и при температуре равны и соответственно. Полагая, что в этом диапазоне температур зависимость близка к линейной зависимости, определить значение температурного коэффициента удельного электрического сопротивления .

Решение. В диапазоне температур, где зависимость близка к линейной зависимости, величина удельного электрического сопротивления рассчитывается по формуле:

,

где – удельное электрическое сопротивление при начальной температуре, например, при температуре .

Тогда, при температуре удельное электрическое сопротивление , а при температуре удельное электрическое сопротивление .

Используя выражение для удельного электрического сопротивления при температуре и выражение для удельного электрического сопротивления при температуре , можно записать:

,

откуда

.

Подставляя числовые значения, получим значение температурного коэффициента удельного электрического сопротивления :

.

Задание 21. Имеются проводниковые материалы, прошедшие одинаковую технологическую обработку. Химический состав первого материала (Cu + 2 ат. % Zn), а состав второго материала – (Cu + 0,5 ат. % As). Определить, какой из материалов имеет более высокую удельную проводимость.

Решение. Согласно правилу Линде, изменение остаточного удельного сопротивления на 1 ат. % примеси составляет , где – константа, зависящая от природы металла и периода, который занимает в периодической системе элементов атом примеси; – разность валентностей металла-растворителя (меди) и атома примеси. Константа одинакова для атомов примесей одного периода периодической системы элементов, например, для цинка и мышьяка. Так как медь одновалентна, то при введении цинка , а при введении мышьяка . Следует принять во внимание, что остаточное удельное сопротивление линейно зависит от концентрации атомов примеси. Таким образом, , откуда

. Подставляя числовые значения, получаем: .

Таким образом, первый материал обладает меньшим удельным сопротивлением, то есть имеет более высокую удельную проводимость.

Задание 22. Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре . Энергию Ферми принять равной 1,0 эВ.

Ответ: .

Задание 23. Определить отношение концентраций свободных электронов в литии и цезии при температуре , если известно, что уровень Ферми лития , а уровень Ферми цезия .

Ответ: .

Задание 24. Определить число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия, если энергия Ферми натрия , а плотность натрия .

Ответ: .

Задание 25. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом алюминия, больше числа свободных электронов, приходящихся на один атом меди. Уровень Ферми алюминия , уровень Ферми меди .

Ответ: Число свободных электронов, приходящихся на один атом алюминия, больше числа свободных электронов, приходящихся на один атом меди, в 3 раза.

Задание 26. Определить максимальную скорость электронов в металле при температуре , если уровень Ферми .

Ответ: .

Задание 27. Определить суммарную кинетическую энергию свободных электронов золота Au, полагая, что на каждый атом приходится один свободный электрон.

Ответ: .

Задание 28. Вычислить поляризованность монокристалла каменной соли, полагая, что смещение ионов под действием электрического поля от положения равновесия составляет 1% расстояния между ближайшими соседними ионами. Элементарная ячейка кристалла имеет форму куба, расстояние между соседними ионами м. Определить напряженность электрического поля, воздействующего на монокристалл каменной соли, если ее диэлектрическая проницаемость . Вычислить коэффициент упругой связи ионов в кристалле, полагая, что напряженность внутреннего электрического поля равна напряженности внешнего электрического поля.

Решение. Поляризованность диэлектрика определяется как отношение электрического момента элемента диэлектрика к объему этого диэлектрика: . Если выбрать , то , где – заряд иона, равный заряду электрона; – смещение ионов под действием электрического поля.

Тогда .

Для большинства диэлектриков связь поляризованности диэлектрика и напряженности электрического поля можно считать линейной: .

Откуда .

Так как смещению ионов под действием электрического поля препятствуют силы упругой связи, то в состоянии равновесия .

Отсюда .

Задание 29. Композиционный керамический материал изготовлен на основе двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями и . Предполагая хаотическое распределение компонентов, определить объемные концентрации компонентов и диэлектрическую проницаемость композиционного диэлектрика, если температурные коэффициенты диэлектрической проницаемости диэлектриков , , а температурный коэффициент диэлектрической проницаемости композиционного керамического материала .

Решение. Диэлектрическую проницаемость сложных диэлектриков, представляющих собой смесь химически невзаимодействующих друг с другом компонентов с различными диэлектрическими проницаемостями и , можно в первом приближении (при небольшом различии компонентов) определить на основании уравнения Лихтенеккера.

Если оба компонента распределены хаотически, то уравнение Лихтенеккера имеет вид:

,

где – объемная концентрация диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ; – объемная концентрация диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ; .

Температурный коэффициент диэлектрической проницаемости сложного диэлектрика можно определить дифференцированием уравнения Лихтенеккера по температуре: или .

Решая систему уравнений ; , находим – объемную концентрацию диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ;

– объемную концентрацию диэлектрика с диэлектрической проницаемостью .

Диэлектрическую проницаемость композиционного диэлектрика:

.

Задание 30. Между плоскими электродами площадью размещены соединенные последовательно две пластины из различных диэлектрических материалов. Параметры одного из диэлектриков: диэлектрическая проницаемость , удельное электрическое сопротивление , толщина . Параметры второго диэлектрика: диэлектрическая проницаемость , удельное электрическое сопротивление , толщина . В момент времени к электродам подключено постоянное напряжение . Определить напряженность электрического поля в диэлектриках в моменты времени и . Определить напряженность электрического поля в диэлектриках при , если к электродам приложено переменное напряжение частотой .

Решение. При постоянном напряжении в момент времени напряженность электрического поля в обоих диэлектриках , так как поляризация в диэлектриках еще не произошла.

В общем случае распределение напряжения между слоями диэлектриков определяются модулями полных сопротивлений слоев:

,

где – активные сопротивления слоев слоистого диэлектрика; – емкостные сопротивления слоев слоистого диэлектрика.

При распределение постоянного напряжения между пластинами диэлектриков определяется их активными сопротивлениями и : . В случае плоского образца материала диэлектрика, расположенного в однородном электрическом поле, объемное электрическое сопротивление образца рассчитывается по формуле: , где – удельное объемное электрическое сопротивление, ; – толщина образца, ; – площадь электрода, .

Тогда, с учетом равенства :

.

Находим падение напряжения в слое диэлектрика толщиной :

.

Падение напряжения в слое диэлектрика толщиной :

.

Определим напряженности электрического поля в каждом из диэлектриков:

; .

Определим емкостные сопротивления слоев диэлектрика:

Определим объемные сопротивления слоев диэлектриков:

, .

Так как и , то

и тогда , откуда ; .

Тогда напряженности электрического поля в диэлектриках при переменном напряжении частотой :

; .

Задание 31. При изменении температуры от температуры до температуры удельное электрическое сопротивление фарфора уменьшается от значения до значения . Определить температурный коэффициент удельного электрического сопротивления фарфора и удельное электрическое сопротивление фарфора при температуре , полагая постоянным в рассматриваемом диапазоне температур.

Решение. При рассмотрении зависимости удельного электрического сопротивления от температуры можно использовать приближенную формулу вида: , где – удельное объемное электрическое сопротивление при температуре , например, при температуре ; – температурный коэффициент удельного электрического сопротивления.

Тогда, при температуре удельное электрическое сопротивление фарфора , а при температуре – .

Следовательно, , откуда следует выражение для определения удельного электрического сопротивления .

Подставляя числовые значения, получаем значение температурного коэффициента удельного электрического сопротивления фарфора:

.

Определим удельное электрическое сопротивление фарфора при температуре :

или

Задание 32. При температуре тангенс угла диэлектрических потерь ультрафарфора , а при температуре тангенс угла диэлектрических потерь . Определить ультрафарфора при температуре . Изменением диэлектрической проницаемости ультрафарфора в рассматриваемом диапазоне температур пренебречь.

Решение. Потери в ультрафарфоре обусловлены сквозной электропроводностью, поэтому тангенс угла диэлектрических потерь возрастает с температурой по экспоненциальному закону: , где – тангенс угла диэлектрических потерь при температуре , например, при температуре ; – температурный коэффициент .

Температурный коэффициент угла диэлектрических потерь может быть найден из выражения:

.

Тангенс угла диэлектрических потерь ультрафарфора при температуре :

Задание 33. Между латунными электродами площадью помещена керамическая пластина толщиной : диэлектрическая проницаемость керамической пластины , тангенс угла диэлектрических потерь при температуре , температурный коэффициент угла диэлектрических потерь . Определить допустимое напряжение между электродами на частоте , если температура нагрева керамической пластины в электрическом поле не превышает . Коэффициент теплоотдачи от диэлектрика во внешнюю среду , температура окружающей среды .

Решение. В керамических материалах с диэлектрической проницаемостью преобладающими являются потери сквозной электропроводности. Диэлектрические потери (электрическую мощность, затрачиваемую на нагрев диэлектрика, находящегося в электрическом поле) можно рассчитать по формуле:

,

где – круговая частота; – электрическая емкость; – тангенс угла диэлектрических потерь.

Поскольку потери в керамической пластине обусловлены сквозной электропроводностью, то тангенс угла диэлектрических потерь возрастает с температурой по экспоненциальному закону: , где – тангенс угла диэлектрических потерь при температуре ; – температурный коэффициент .

Поскольку , и диэлектрические потери в керамической пластине при температуре рассчитываются по формуле:

.

Мощность, отводимая от диэлектрика, при температуре нагрева керамической пластины и температуре окружающей среды определяется выражением:

.

В термодинамическом равновесии :

, откуда допустимое напряжение между электродами на частоте :

.

Подставляя числовые значения , , , , , , , , , , находим числовое значение :

Задание 34. Спонтанная поляризованность монокристаллов титаната бария при комнатной температуре равна 0,25 Кл/м² . Предполагая, что причиной возникновения спонтанной поляризации является только смещение иона титана из центра элементарной кубической ячейки, определить это смещение. Период идентичности решетки принять равным м.

Решение. Поляризованность есть электрический момент единицы объема: , где – заряд иона титана; – смещение иона под действием электрического поля; – объем элементарной ячейки.

Заряд иона титана . Объем элементарной ячейки .

Тогда .

Задание 35. В пространстве между обкладками двухслойного конденсатора находятся пленка полиэтилена и пропитанная конденсаторная бумага одинаковой толщины . Определить напряженности электрического поля , и падения напряжения , в каждом слое двухслойного конденсатора. Известны диэлектрические проницаемости и удельные объемные сопротивления этих материалов: полиэтилена – ; конденсаторной бумаги – Ом∙м. Расчет провести для постоянного напряжения 100 В и переменного напряжения амплитудой 100 В.

Решение. Если и – напряженности электрического поля, и – падения потенциала в каждом слое, то на переменном напряжении справедливо соотношение , где – емкость конденсатора с диэлектриком из полиэтилена, – емкость конденсатора с диэлектриком из конденсаторной бумаги. Очевидно также, что .

После преобразования имеем:

;

или ;

;

.

На постоянном напряжении справедливо отношение , где – сопротивление слоя полиэтилена; – сопротивление слоя конденсаторной бумаги.

После преобразования имеем:

;

;

;

.

Задание 36. В комбинированном пленочном конденсаторе спиральной конструкции для получения высокой температурной стабильности емкости совместно используют диэлектрические пленки двух различных полимеров, имеющих разные знаки температурного коэффициента диэлектрической проницаемости . Одна из пленок полистирольная, другая – поликарбонатная. Пленки различной толщины. Пробивное напряжение конденсатора должно быть не менее 1000 В. Определить толщину каждой пленки, при которой температурный коэффициент емкости близок нулю. Определить тангенс угла диэлектрических потерь , если учитывать потери только в диэлектрических пленках. Параметры диэлектрических материалов при температуре :

полистирол – ; ; ; ;

поликарбонат – ; ; ; .

Решение. Полагаем, что конструкция конденсатора представляет собой две тонкие диэлектрические ленты длиной , на каждую из которых с одной стороны нанесен металлический слой толщиной . В таком комбинированном пленочном конденсаторе емкости двух диэлектрических слоев включены параллельно, поэтому эквивалентная емкость конденсатора , где – емкость конденсатора с диэлектриком из полистирола; – емкость конденсатора с диэлектриком из поликарбоната.

Для комбинированного пленочного конденсатора температурный коэффициент емкости определяется выражением:

,

где – температурный коэффициент конденсатора с диэлектриком из полистирола; – температурный коэффициент конденсатора с диэлектриком из поликарбоната.

Полагая, что температурные изменения емкостей диэлектрических лент обусловлены в основном температурными изменениями диэлектрических проницаемостей и , для конденсатора с температурной компенсацией ( ) имеет место уравнение:

,

где – температурный коэффициент диэлектрической проницаемости полистирола; – температурный коэффициент диэлектрической проницаемости поликарбоната.

С учетом знаков и выражение для конденсатора с температурной компенсацией можно представить в виде:

,

где – толщина пленки из полистирола; – толщина пленки из поликарбоната.

Принимая ; , получаем:

.

Так как напряжения на диэлектрических пленках одинаковы, то напряженность электрического поля в ленте из поликарбоната в три раза превышает напряженность электрического поля в ленте из полистирола. Принимая значение , получаем толщину пленки из полистирола и толщину пленки из поликарбоната:

, .

При этом напряженность электрического поля в поликарбонате , что меньше электрической прочности поликарбоната .

Тангенс угла диэлектрических потерь определим, используя параллельную эквивалентную схему диэлектрика с потерями и учитывая потери только в диэлектрических пленках. Тогда можно записать:

,

где – объемное сопротивление пленки их полистирола; – объемное сопротивление пленки их поликарбоната; – круговая частота.

Объемные сопротивления пленок могут быть найдены из выражений:

; .

Выражая объемные сопротивления , , получаем выражение для определения тангенса угла диэлектрических потерь :

.

Принимая , , , , определяем значение тангенса угла диэлектрических потерь :

.

Задание 37. На пластину – среза пьезоэлектрического кварца толщиной вдоль оси воздействует механическое напряжение . Определить разность потенциалов между противоположными плоскостями пластины, если в направлении оси пьезомодуль продольного пьезоэффекта . Диэлектрическая проницаемость кварца .

Решение. Согласно уравнению прямого пьезоэффекта в тензорной форме, поляризованность , где – пьезомодуль вдоль оси ; – механическое напряжение вдоль оси .

Для плоского однородного диэлектрика при равномерном механическом усилии заряд, возникающий на грани пьезоэлектрического диэлектрика, определяется выражением: , где – площадь грани пьезоэлектрического диэлектрика.

Разность потенциалов между плоскими гранями: , где – электрическая емкость. Тогда разность потенциалов между противоположными плоскостями пьезоэлектрического кварца:

.

Задание 38. Какой состав неорганического стекла характеризуется минимальным значением удельного объемного сопротивления: 100% ; ; ;

.

Ответ: состав неорганического стекла характеризуется минимальным значением удельного объемного сопротивления.

Задание 39. Какой состав неорганического стекла характеризуется максимальным значением : 100% ; ; ;

; .

Ответ: состав неорганического стекла характеризуется максимальным значением .

Задание 40. При каком максимальном напряжении может работать слюдяной конденсатор емкостью с площадью обкладок , если конденсатор должен иметь четырехкратный запас по электрической прочности. Диэлектрическая проницаемость слюды , электрическая прочность слюды .

Ответ: .

Задание 41. На верхнюю и нижнюю грани кубика из пьезоэлектрического материала действуют силы, сжимающие кубик. При этом на верхней грани кубика возникает положительный заряд, а на нижней грани – отрицательный заряд. При приложении к этим граням растягивающих сил знак заряда на этих гранях меняется на противоположный знак. На боковых гранях заряды при этом не образуются. Электрические заряды каких знаков возникнут на верхней и нижней гранях, если сжимающие силы приложить к боковым граням.

Ответ: При сжатии боковых граней кубика расстояние между верхней и нижней гранями кубика увеличится (деформация растяжения). В результате, на верхней грани кубика возникнет отрицательный заряд, а на нижней грани кубика - положительный заряд.

Задание 42. Определить изменение поляризованности для ниобата лития при изменении температуры на величину . Пироэлектрический коэффициент ниобата лития .

Ответ: ; .

Задание 43. Определить намагниченность и магнитную индукцию в медном проводе при воздействии на него однородного магнитного поля напряженностью . Диамагнитная восприимчивость меди .

Решение. Суммарная магнитная индукция материала определяется алгебраической суммой магнитной индукции внешнего и собственного магнитного полей: , где – магнитная постоянная.

Подставляя числовые значения, находим: намагниченность медного провода ; магнитную индукцию в медном проводе .

Задание 44. Магнитная индукция насыщения химически чистого железа . Определить магнитный момент, приходящийся на один атом железа (в магнетонах Бора), учитывая, что элементарная ячейка кристаллической решетки железа представляет собой объемно-центрированный куб с ребром а = .

Решение. Суммарная магнитная индукция материала определяется алгебраической суммой магнитной индукции внешнего и собственного магнитного полей: , где – магнитная постоянная; – напряженность внешнего магнитного поля, ; – намагниченность (магнитный момент единицы объема вещества), .

При магнитном насыщении ферромагнетиков , поэтому можно записать: . Число атомов железа в единице элементарного объема: , где – кратность элементарной ячейки (число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку). В случае объемно-центрированного куба .

Магнитный момент, приходящийся на один атом вещества, определяется по формуле:

,

где – магнетон Бора.

Подставляя числовые значения, получаем магнитный момент, приходящийся на один атом железа (в магнетонах Бора):

.

Полученный результат показывает, что в кристаллической решетке железа число некомпенсированных спинов в расчете на один атом меньше, чем в свободном атоме железа, магнитный момент которого .

Задание 45. Определить температуру Кюри , если из экспериментальных данных следует, что при температуре намагниченность насыщения чистого железа составляет 0,55 намагниченности насыщения при температуре , а при температуре намагниченность насыщения составляет 0,296 намагниченности насыщения .

Решение. Намагниченность насыщения резко падает по мере приближения температуры к температуре Кюри , где выполняется соотношение:

,

где – константа для данного материала.

Температуру Кюри принято определять пересечением линейного продолжения наиболее крутого участка спада кривой намагниченности с осью температур. Для экстраполяции экспериментальных данных используем формулы:

; .

Отсюда следует, что и

.

Задание 46. Магнитная восприимчивость никеля при температуре равна , а при температуре магнитная восприимчивость никеля . Определить температуру Кюри и магнитную восприимчивость никеля при температуре .

Решение. Из данных задания следует, что температура Кюри меньше , так как при температуре Кюри магнитная восприимчивость ферромагнетика становится примерно равной нулю. Выше температуры Кюри изменение магнитной восприимчивости подчиняется закону Кюри-Вейсса:

,

где – постоянная Кюри-Вейсса.

Используя числовые значения магнитных восприимчивостей, определим температуру Кюри :

Определим постоянную Кюри-Вейсса:

или

.

Зная температуру Кюри и постоянную Кюри-Вейсса, определим магнитную восприимчивость никеля при температуре :

.

Задание 47. В образце из магнитного материала суммарные удельные магнитные потери на гистерезис и на вихревые токи при частотах и составляют соответственно и (при неизменной максимальной магнитной индукции в ферромагнетике). Рассчитать магнитные потери на вихревые токи в образце на частоте .

Решение. Мощность, то есть энергия расходуемая в единицу времени, обусловленная потерями на вихревые токи, определяется эмпирической формулой: , где – коэффициент, пропорциональный удельной проводимости магнитного материала и зависящий от геометрической формы и размеров поперечного сечения намагничиваемого образца; – максимальная магнитная индукция, достигаемая в одном цикле перемагничивания; – частота перемагничивания; – объем образца.

Мощность, обусловленная потерями на гистерезис:

,

где – коэффициент, зависящий от свойств магнитного материала; – показатель степени, принимающий значения от 1,6 до 2,0 в зависимости от значения .

Суммарные удельные магнитные потери за один цикл перемагничивания линейно зависят от частоты:

.

Используя исходные данные , и , , получим уравнения, определяющие суммарные удельные магнитные потери за один цикл перемагничивания для частот и :

,

или

, .

Вычитая из одного уравнения другое, получаем .

Тогда на частоте удельные магнитные потери на вихревые токи в образце: .

Задание 48. В ферромагнетике на частоте удельные потери на гистерезис при индукции магнитного поля и составляют и соответственно. Определить удельные потери на гистерезис на частоте при индукции магнитного поля .

Решение. Потери на гистерезис в единице объема ферромагнетика определяются выражением:

,

где – коэффициент, зависящий от свойств магнитного материала; – максимальная магнитная индукция, достигаемая в одном цикле перемагничивания; – частота перемагничивания.

Тогда на частоте :

,

откуда .

Определим коэффициент , учитывая, что этот коэффициент не зависит от частоты и магнитной индукции:

или

.

Поскольку коэффициент также не зависит от частоты и магнитной индукции, то удельные потери на гистерезис на частоте :

.

Задание 49. В слабых магнитных полях петля гистерезиса приближенно описывается эмпирической формулой Рэлея:

,

где – магнитная постоянная; – начальная магнитная проницаемость; – эмпирическая постоянная; – амплитуда напряженности магнитного поля.

Знак «–» в формуле Рэлея соответствует интервалу возрастания напряженности магнитного поля , знак «+» соответствует интервалу уменьшения .

Пользуясь формулой Рэлея, определить потери на гистерезис в кольцевом магнитопроводе с площадью поперечного сечения и средней длиной силовой линии магнитной индукции при воздействии на магнитопровод переменного магнитного поля частотой и амплитудой напряженности магнитного поля . Эмпирическая постоянная .

Решение. Потери на гистерезис за один цикл перемагничивания, отнесенные к единице объема магнитопровода, определяются площадью статической петли гистерезиса:

Тогда, активная мощность, выделяющаяся в магнитопроводе за счет потерь на гистерезис при циклическом перемагничивании с частотой :

Подставляя числовые значения, получаем:

Задание 50. В магнитопроводе трансформатора, собранного из листов электротехнической стали толщиной , на частоте при амплитуде индукции магнитного поля потери на вихревые токи составляют . Определить потери на вихревые токи, если магнитопровод той же формы и тех же геометрических размеров собрать из листов электротехнической стали той же марки толщиной

Решение. Мощность, расходуемая на вихревые токи в единице массы, связана с толщиной листа соотношением:

,

где – амплитуда индукции магнитного поля; – частота; – толщина листа; – плотность материала магнитопровода; – удельное электрическое сопротивление материала магнитопровода.

При толщине листов потери на вихревые токи определяются выражением:

,

где – масса магнитопровода трансформатора.

При толщине листов потери на вихревые токи определяются выражением:

.

Тогда ,

откуда .

Задание 51. Магнитопровод из ферромагнетика с длиной средней линии имеет немагнитный зазор . На магнитопроводе расположена обмотка с числом витков . При протекании в обмотке тока силой в зазоре создается магнитная индукция . Определить магнитную проницаемость ферромагнетика.

Решение. В соответствии с законом полного тока

,

где – напряженность магнитного поля в материале магнитопровода; – напряженность магнитного поля в зазоре.

Так как силовые линии магнитной индукции непрерывны, то индукция магнитного поля в материале магнитопровода равна индукции магнитного поля в зазоре: .

Поскольку и , то ,

откуда получаем выражение для определения магнитной проницаемости ферромагнетика:

.

Задание 52. Требуется получить напряженность магнитного поля в соленоиде длиной и диаметром . Найти число ампер-витков , необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов , которую надо приложить к концам обмотки из медной проволоки диаметром .

Решение. Напряженность магнитного поля в соленоиде определяется выражением , откуда число ампер-витков .

Разность потенциалов определяется, согласно закону Ома, выражением . Учитывая, что , , и , выражение для нахождения разности потенциалов , которую необходимо приложить к концам обмотки соленоида, запишется в виде:

,

где – удельное электрическое сопротивление меди.

Подставляя числовые значения, находим величину разности потенциалов:

.

Задание 53. Определить изменение индуктивности катушки, выполненной на кольцевом магнитопроводе из феррита марки 1000НМ, при напряженности магнитного поля , если в магнитопроводе сделать немагнитный зазор . Средний диаметр кольцевого магнитопровода .

Решение. В соответствии с законом полного тока: в отсутствие немагнитного зазора – а при наличии немагнитного зазора – , где – напряженность магнитного поля, создаваемого током силой , протекающим по обмотке катушки индуктивности с числом витков ; – напряженность магнитного поля в магнитопроводе; – напряженность магнитного поля в зазоре; – длина средней силовой линии магнитного поля в магнитопроводе без зазора; – длина средней силовой линии магнитного поля в материале магнитопровода с зазором; – длина немагнитного зазора.

Тогда откуда .

Учитывая, что напряженность магнитного поля в зазоре связана с индукцией магнитного поля соотношением , выражение для напряженности магнитного поля, создаваемого током силой , представим в виде:

,

где – магнитная постоянная.

Так как при наличии в магнитопроводе немагнитного зазора , то .

Тогда .

Поскольку , то .

[Выводы] Таким образом, для магнитопровода с немагнитным зазором при каждом выбранном значении магнитной индукции напряженность внешнего магнитного поля возрастает на величину , а это значит, что при наличии немагнитного зазора уменьшается магнитная индукция в материале магнитопровода при заданной напряженности магнитного поля, что приводит к снижению магнитной проницаемости магнитопровода. [.]

Индуктивность катушки определяется выражением:

,

где – магнитная проницаемость материала магнитопровода; – число витков; – площадь поперечного сечения катушки; – средняя длина силовой линии магнитной индукции внутри кольцевого магнитопровода.

Тогда , где – индуктивность катушки, выполненной на магнитопроводе без зазора; – индуктивность катушки, выполненной на магнитопроводе с зазором; – магнитная проницаемость магнитопровода без зазора; – магнитная проницаемость магнитопровода с немагнитным зазором.

Определим магнитную проницаемость магнитопровода без зазора.

Из кривой намагничивания феррита марки 10000НМ при напряженности магнитного поля определяем, что индукция магнитного поля . Тогда .

Определим значение напряженности магнитного поля в магнитопроводе с зазором при магнитной индукции :

.

Учитывая, что , находим магнитную проницаемость магнитопровода с зазором:

.

Таким образом, , то есть:

[Выводы] даже небольшой немагнитный промежуток (зазор) в магнитопроводе из ферромагнетика существенно снижает индуктивность катушки. [.]

Задание 54. Найти концентрацию основных и неосновных носителей заряда в арсениде галлия GaAs, легированном донорной примесью до концентрации .

Решение. В диапазоне рабочих температур все донорные атомы являются ионизированными, а равновесная концентрация свободных электронов с достаточной степенью точности определяется концентрацией донорной примеси и не зависит от температуры:

.

Тогда концентрация основных носителей заряда в арсениде галлия GaAs, легированном донорной примесью до концентрации : .

Концентрацию неосновных носителей заряда (дырок) можно найти, используя закон действующих масс:

,

где – собственная концентрация электронов в арсениде галлия GaAs [1].

Задание 55. Найти положение уровня Ферми в кремнии марки КЭФ 0,3/0,1 при температуре .

Решение. Из маркировки монокристаллического кремния КЭФ 0,3/0,1 следует: кремний электронного типа проводимости, легированный фосфором, удельное электрическое сопротивление , диффузионная длина неосновных носителей заряда .

В легированном полупроводнике и положение уровня Ферми можно определить по формуле:

.

Концентрацию основных носителей заряда найдем, зная величину удельного электрического сопротивления , как:

,

где – подвижность электронов.

Для кремния при температуре подвижность электронов , собственная концентрация носителей

Тогда положение уровня Ферми в кремнии марки КЭФ 0,3/0,1 при температуре :

Задание 56. Найти удельное сопротивление электронного кремния Si с легирующей примесью при температуре .

Решение. Величину удельного сопротивления получим из соотношения:

,

где – удельная электрическая проводимость; – заряд электрона; , – подвижности электронов и дырок соответственно; – концентрация электронов в полупроводнике -типа; – концентрация дырок в полупроводнике -типа.

При температуре все донорные атомы являются ионизированными, собственной концентрацией свободных носителей заряда можно пренебречь, а условием электрической нейтральности будет условие .

Тогда

.

Для кремния при температуре подвижность электронов .

Подставляя числовые значения, находим величину удельного сопротивления электронного кремния Si с легирующей примесью при температуре :

.

Задание 57. Рассчитать собственное удельное сопротивление монокристалла арсенида галлия GaAs при температуре .

Решение. Величина собственного удельного сопротивления полупроводника находится по формуле:

,

где – собственная концентрация электронов.

Для арсенида галлия при температуре собственная концентрация , подвижность электронов , подвижность дырок . Тогда собственное удельное сопротивление монокристалла арсенида галлия GaAs при температуре :

.

Задание 58. Определить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при температуре , если ширина запрещенной зоны кремния , а эффективные массы для дырок валентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно равны и .

Решение. Собственная концентрация носителей заряда в полупроводнике определяется выражением:

,

где – эффективная плотность энергетических уровней электронов в зоне проводимости; – эффективная плотность энергетических уровней дырок в валентной зоне.

Эффективная плотность энергетических уровней дырок в валентной зоне и эффективная плотность энергетических уровней электронов в зоне проводимости определяются выражениями:

, ,

где – постоянная Планка, деленная на .

Подставляя числовые значения, находим:

,

.

Тогда собственная концентрация носителей заряда в кремнии при температуре :

Задание 59. Удельное сопротивление собственного германия при температуре . Подвижность электронов и дырок в германии равны соответственно и . Определить собственную концентрацию электронов и дырок.

Решение. Удельная проводимость полупроводника определяется соотношением:

,

где – концентрация электронов; – концентрация дырок; , – подвижности электронов и дырок соответственно; – заряд электрона.

Для собственного полупроводника , где – собственная концентрация электронов и дырок. Поэтому собственная удельная проводимость выражается формулой , откуда

Задание 60. Образец германия легирован примесью атомов сурьмы так, что один атом примеси приходится на атомов германия. Определить: а) концентрацию электронов и дырок при температуре (предположить, что при этой температуре все атомы сурьмы ионизированы и концентрация атомов германия ); б) удельное сопротивление этого легированного материала; в) коэффициенты диффузии электронов и дырок в германии при данной температуре.

Решение. Концентрация донорных примесей определяется выражением:

.

Собственная концентрация (см. решение задания 59).

Следовательно, концентрация дырок:

.

Удельное сопротивление легированного полупроводника n-типа:

.

Определим коэффициенты диффузии электронов и дырок в германии при температуре .

Соотношение Эйнштейна между подвижностью и коэффициентом диффузии имеет вид: , где – постоянная Больцмана; – абсолютная температура.

Для электронов коэффициент диффузии:

.

Для дырок коэффициент диффузии:

.

Задание 61. Дан образец легированного кремния n-типа длиной 10 мм, шириной 2 мм и толщиной 1 мм. Подвижности электронов и дырок равны соответственно и , концентрация собственных носителей заряда . Определить: а) концентрацию примеси в образце, если сопротивление образца =150 Ом; б) отношение дырочной удельной проводимости к электронной проводимости.

Решение. Определим удельное сопротивление материала, для чего воспользуемся известной формулой ,

откуда .

Удельное сопротивление примесного кремния определяется выражением:

,

где – заряд электрона; – число свободных электронов; – подвижность электронов; – число дырок; – подвижность дырок.

Подставив числовые данные из условия задачи, получим уравнение вида:

Или

.

Поскольку , то

.

Тогда получим:

или

.

Отсюда:

.

Такое же значение имеет и концентрация доноров .

Определим отношение дырочной удельной проводимости к электронной проводимости.

Дырочная и электронная удельные проводимости определяются выражениями:

; .

Тогда:

.

Следовательно, .

Задание 62. В собственном германии концентрация атомов равна . При температуре =300 один из каждых атомов ионизирован. Подвижности электронов и дырок при этой температуре равны соответственно и . Определить: а) удельную проводимость собственного германия; б) удельную проводимость германия при температуре , легированного элементом V группы, если на каждые атомов германия приходится один атом примеси.

Решение. Найдем концентрацию собственных носителей заряда в германии при температуре :

.

Удельная проводимость собственного германия:

,

где – концентрация собственных носителей заряда; – подвижность электронов; – подвижность дырок.

Собственный полупроводник, легированный элементом V группы, является материалом n-типа. Определим концентрацию доноров :

.

Вычислим удельную проводимость полупроводника n-типа:

Задание 63. Полупроводник в условиях равновесия имеет концентрацию дырок и концентрацию электронов . Определить а) полную концентрацию примесей; б) тип доминирующей примеси; в) собственную концентрацию носителей заряда.

Решение. В условиях равновесия существует компенсация зарядов: , где и – концентрации акцепторов и доноров соответственно, и предполагается, что все примеси ионизированы.

Полная концентрация примесей:

.

Значение положительно, следовательно, акцепторы присутствуют в большинстве и компенсированный материал p-типа.

Определим собственную концентрацию :

, откуда .

Задание 64. Напряженность электрического поля в кристалле собственного кремния =500 В/м, а подвижность электронов и дырок соответственно равны и . Концентрация собственных носителей . Определить а) скорость дрейфа электронов и дырок ; б) удельное сопротивление кремния ; в) полный дрейфовый ток , если площадь поперечного сечения .

Решение. Скорость дрейфа электронов определяется выражением:

.

Скорость дрейфа дырок:

.

Удельное сопротивление собственного кремния:

Полный дрейфовый ток в собственном полупроводнике:

Задание 65. Вычислить диффузионную длину электронов в германии p-типа и дырок в германии n-типа, если время жизни неосновных носителей заряда с, коэффициент диффузии для германия p-типа и для германия n-типа .

Решение. Из выражения находим диффузионную длину электронов:

Диффузионная длина дырок:

Задание 66. В приближении модели водородоподобного атома определить отношение энергии ионизации доноров в арсениде галлия к энергии ионизации доноров в кремнии, если эффективные массы электронов – в кремнии , в арсениде галлия . Диэлектрические проницаемости – кремния , арсенида галлия .

Ответ: .

Задание 67. Монокристалл германия Ge, ширина запрещенной зоны в котором равна 0,72 Эв, нагревают от температуры до температуры . Во сколько раз возрастет его удельная проводимость?

Ответ: Удельная проводимость возрастет в 1,5 раза.

Задание 68. Определить ширину запрещенной зоны монокристалла кремния, если при нагревании монокристалла кремния от температуры до температуры его удельная проводимость возрастает в 2,28 раза.

Ответ: .

Задание 69. Сопротивление кристалла сульфида свинца PbS при температуре равно . Определить сопротивление кристалла сульфида свинца PbS при температуре . Энергия активации 2 эВ.

Ответ: .