2.3. Базис.

Означення 4. Базисом простору називається будь-яка система з лінійно незалежних векторів цього простору.

Якщо вектори утворюють базис простору , то будь-який вектор

однозначно подається у вигляді:

Числа називаються координатами вектора в базисі .

3.Скалярний добуток двох векторів.

Означення 1. Скалярним добутком векторів називається число, яке позначають символом і визначають рівністю

. (4)

Відзначимо основні властивості скалярного добутку:

1) Вектори ортогональні (перпендикулярні) тоді і тільки тоді, коли іх скалярний добуток дорівнює нулю:

2)

Теорема 2. Нехай в ортонормованому базисі вектори задані своїми координатами , . Тоді скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі попарних добутків одноіменних координат

. (5)

Наслідок 1. Довжина вектора дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його координат

. (6)

Наслідок 2. Косинус кута між векторами знаходиться так

. (7)

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів вектора з осями координат (рис.5). З формули (7) випливає

, , . (8)

Звідси, наприклад, . Таким же чином визначається ортогональна проекція вектора на напрямок вектора : , (9) або = ( )

4.Векторний та мішаний добуток векторів

4.1 Векторний добуток двох векторів

Часто зустрічаюься задачі, в яких наслідком операції над двома векторами є не

число (як було у випадку скалярного добутку), а деякий третій вектор. Наприклад,

на заряд , який влетів зі швидкістю у магнітне поле з індукцією , діє сила

Лоренца.

Означення 1. Векторним добутком векторів та називається вектор з такими властивостями: 1) його довжина дорівнює добутку довжин векторів множників на синус кута між ними; 2) він напрямлений перпендикулярно площині, яку утворюють перемножувані вектори так, що з його кінця обертання від вектора (перший вектор) до вектора (другий вектор) на найменший кут відбувається проти годинникової стрілки (рис.23).

Позначається векторний добуток векторів і так: . Отже:

Рис.23

1) , тобто довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і (вважаємо,що вектори приведені до загального початку); 2) трійка векторів , , орієнтована

так само, як і орти .

Основні властивості векторного добутку:

1) вектори та пропорційні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток дорівнює нулю. Тобто ;

2) ; 3) 4) .

Сила Лоренца, яка згадувалась вище, має вид: .

Момент сили , що прикладена в точці , відносно точки О знаходиться за правилом: .

Приклад 1. Знайти площу паралелограма, який побудовано на

векторах , якщо відомо, що

Розв'язання.

.

Тому шукана площа буде дорівнювати

Теорема І. Нехай в ортонормованаму базисі два вектори задані своїми координатами . Тоді вектор знаходиться за формулою

. (7.1)

Доведення.Оскільки а , то,

використовуючи властивості векторного добутку, одержимо:

.

В правій частині одержаного співвідношення можно впізнати розкладення за елементами першого рядка визначника .■

Якщо ортонормований базис має іншу орієнтацію, ніж базис то в формулі (7.1) з'явиться перед визначником знак "-". Для неортонормованого базису формула (7.1) не має місця.

Приклад 2. Знайти площу трикутника, який побудовано на векторах: , якщо

Розв'язання. Оскількі , то за формулою (7.1) одержимо

. Тому площа трикутника дорівнює .