Достатні умови локального екстремуму

Т еорема 2. Точками локального екстремуму є ті точки з області визначення функції , при переході через які похідна змінює знак. При цьому, якщо при переході через у додатному напрямі осі знак змінюється з “+” на “ – “ (з “ –“ на “+”), то точка є точкою локального максимуму (локального мінімуму).

Знак			– точка локального мінімуму
Знак				– точка локального максимуму

Приклад 1 Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції

Розв’язання.1. Обчислюємо .

2.Знаходимо корні похідної .

3. Нерівність . розв’язуємо методом інтервалів

З теореми 2 випливає що Обчислюємо

.

4.Проміжки монотонності ,

Рис.7.2			Оскільки при та при , то ескіз графіка буде таким :рис.7.2 Нехай функція є двічі диференційовною в точці . ТЕОРЕМА 3. Нехай . Якщо , то –точка локального максимуму, якщо ж , то –точка локального мінімуму.
,		– точка локального мінімуму (максимуму) функції .

Приклад 2. Дослідити на локальний екстремум функцію .

Розв’язання. Функція визначена на всій числовій осі, а її похідна . Зміна знаків похідної відбувається в точках (з “+” на “–“) та (з “–“ на “+”). В точці функція має локальний максимум, що дорівнює ; в точці – локальний мінімум, що дорівнює – .

7.3. Найбільше і найменше значення функції

У застосуваннях часто потрібно знайти , при якому функція досягає найбільшого або найменшого значення на даному відрізку.

У підрозд. 4.3, б говорилось, якщо функція неперервна на відрізку , то на ньому існує принаймні одна точка, в якій функція досягає найбільшого (найменшого) значення на . Звідси випливає, що для визначення найбільшого та найменшого значень неперервної функції на відрізку треба знайти значення функції у критичних точках, що належать цьому відрізку, та обчислити її значення , на кінцях відрізку. Найменше та найбільше з отриманих чисел є відповідно найменшим та найбільшим значенням функції на відрізку .

Приклад 3. Знайти найбільше та найменше значення функції:

а) на відрізку ;

б) на відрізку .

Розв’язання. а) .

Отже, екстремальними точками будуть точки –1 та 2. Обидві вони належать відрізку, який розглядаємо. Обчислимо значення функції в екстремальних точках і на кінцях відрізка:

, , , .

Отже, найменше значення функції дорівнює –44 та досягається на лівому кінці відрізка, а найменше значення функції дорівнює 8 та досягається у внутрішній точці відрізка:

, .

б

Поведінка

) .

У відрізок, що розглядаємо, потрапляє тільки одна екстремальна точка . Знайдемо значення функції на кінцях відрізка та в точці 1:

, , .

, .

Приклад 4. Відомо, що витрати на паливо при експлуатації теплохода на лінії довжиною кілометрів дорівнюють , де – швидкість теплохода, а – деяка гранична швидкість, яку теплохід не може перевищувати при будь-якій витраті палива. Крім цього, постійні витрати при експлуатації теплохода складають . З якою швидкістю повинен рухатись теплохід, щоб витрати на паливо були найменшими?

Розв’язання.

Загальні витрати з експлуатації теплохода дорівнюють

.

Продиференціюємо функцію

.

У проміжок потрапляє тільки одна екстремальна точка , в якій досягається найменше значення, оскільки при та при . Підставляючи це значення в , знаходимо спільну суму витрат при найбільш економічному плаванні

Рис. 7.4

. Графік функції наведено на рис.7.4. Задачі, подібні розглянутим, характерні для діяльності людини. Зокрема, задача космонавтики полягає у тому, щоб доставити керований космічний апарат в дану точку за найменший час або з найменшими витратами.