2.2. Применение дифференциальных уравнений при решении задач Вариант 1

Задача 1. Точка массой m = 3 г движется прямолинейно, на неё действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была V₀ = 20 м/с (коэффициент пропорциональности k₁ = 2). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности k₂ = 2,4). Найти зависимость скорости от времени.

Задача 2. Определить кривую, проходящую через точку M(1;1), радиус-вектор любой точки которой равен отрезку нормали между кривой и осью OX.

Задача 3. В дне котла, имеющего форму полушара радиуса R = 43 см, образовалась пробоина площадью S = 0,4 см². Через сколько времени вода, наполняющая котёл, вытечет из него?

Задача 4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 2 см/с. Определить закон движения (зависимость пути от времени), считая от его положения в начальный момент и предполагая, что оно движется только под влиянием силы тяжести.

Задача 5. Кривая проходит через точку А(2;–1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти уравнение кривой.

Вариант 2

Задача 1. Точка массой m = 5 г движется прямолинейно, на неё действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была V₀ = 21 м/с (коэффициент пропорциональности k₁ = 2,5). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности k₂ = 1,5). Найти зависимость скорости от времени.

Задача 2. Определить кривую, проходящую через точку M(1;0), радиус-вектор любой точки которой равен отрезку нормали между кривой и осью OX.

Задача 3. В дне котла, имеющего форму полушара радиуса R = 40 см, образовалась пробоина площадью S = 0,2 см². Через сколько времени вода, наполняющая котёл, вытечет из него?

Задача 4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 3 см/с. Определить закон движения (зависимость пути от времени), считая от его положения в начальный момент и предполагая, что оно движется только под влиянием силы тяжести.

Задача 5. Кривая проходит через точку А(2;–1) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.

Вариант 3

Задача 1. Точка массой m = 4 г движется прямолинейно, на неё действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была V₀ = 20,5 м/с (коэффициент пропорциональности k₁ = 3). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности k₂ = 5). Найти зависимость скорости от времени.

Задача 2. Определить кривую, проходящую через точку M(0;1), радиус-вектор любой точки которой равен отрезку нормали между кривой и осью OX.

Задача 3. В дне котла, имеющего форму полушара радиуса R = 32 см, образовалась пробоина площадью S = 0,3 см². Через сколько времени вода, наполняющая котёл, вытечет из него?

Задача 4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 2,5 см/с. Определить закон движения (зависимость пути от времени), считая от его положения в начальный момент и предполагая, что оно движется только под влиянием силы тяжести.

Задача 5. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой её точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в этой же точке, с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти уравнение кривой.