1. Подобрать сечение растянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена. Расчетная формула в этом случае имеет вид

,

где N - продольная сила в опасном сечении бруса (сечении, в котором действует максимальное нормальное напряжение);

F - площадь поперечного сечения бруса;

[] - допускаемое напряжение материала бруса.

Отсюда определяется необходимая площадь его сечения

.

Зная форму сечения и его площадь, можно определить линейные размеры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стандартный профиль: уголок, швеллер, двутавр и т. д.

Допускаемое напряжение [] либо задается заранее, либо находится по формуле

где _опасн  _т - предел текучести для пластичных материалов; _опасн - временное сопротивление для хрупких материалов;

n - запас прочности материала .

2. Определить допускаемую нагрузку, если известны прочностные свойства материала и площадь поперечного сечения бруса.

Расчетная формула, вытекающая из условия прочности

,

позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, действующей в опасном сечении и, следовательно, величину внешних нагрузок, приложенных к брусу.

3. Проведение поверочного расчета прочности бруса.

При поверочном расчете нагрузки, размеры и материал, из которого изготовлен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормальное напряжение в опасном поперечном сечении и сравнивается с допускаемым:

Если _max  [], то прочность бруса обеспечена.

ЗАДАЧА № 2

Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен с помощью шарниров к двум стальным стержням.

Требуется подобрать сечения стержней по условию их прочности, приняв запас прочности по отношению к пределу текучести .

Соотношение площадей поперечных сечений стержней указано на расчетных схемах, модуль упругости стали для всех вариантов

Студенты строительных специальностей дополнительно определяют допускаемую силу, используя расчет по предельной грузоподъемности, и сравнивают ее с заданной.

Числовые данные берутся из табл.2, расчетные схемы - по рис.2.

Таблица 2 – Числовые данные к задаче № 2

Номер строки	Номер расчет. схемы по	Размер, м			Сила, кН	Марка стали	Предел текучести, МПа
	рис 2	а	b	с
1	1	1,2	1,6	1,0	3	20	250
2	2	1,2	1,5	0,8	5	30	300
3	3	1,4	1,4	1,0	4	40	340
4	4	1,4	1,6	0,9	2	20	250
5	5	1,4	1,5	0,7	6	50	380
6	6	1,3	1,4	0,8	5	30	300
7	7	1,5	1,2	1,0	3	40Х	800
8	8	1,5	1,1	0,9	4	20	250
9	9	1,2	1,5	1,0	6	40	340
0	10	1.2	1.6	1,0	4	40Х	800
	а	б	в	г	д	е	ж

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 2

В задаче № 2 рассматривается статически неопределимая конструкция, стержневые элементы которой работают на растяжение или сжатие и число неизвестных сил, приложенных к абсолютно жесткому брусу, превышает возможное число уравнений статики. Разность между числом неизвестных усилий

и числом возможных уравнений статики определяет степень статической неопределимости системы. Уравнения, недостающие для определения усилий в стержнях, можно получить, рассматривая возможную деформацию системы. Условие, выражающее зависимость между деформациями отдельных элементов системы (конструкции), называется условием совместности деформаций. Оно получается из геометрических соотношений между деформациями элементов конструкции. Используемые при решении задачи расчетные формулы приведены в методических указаниях к решению задачи № 1.

Метод расчета статически неопределимой системы по предельной грузоподъемности (по разрушающим нагрузкам) достаточно подробно изложен в учебной литературе и в данном пособии рассмотрен на конкретном примере.

Рисунок 2. Расчетные схемы к задаче № 2

ЗАДАЧА № 3

К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента , три из которых известны.

Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения равен нулю;

2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении допускаемого напряжения [] определить диаметр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до ближайшей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;

4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диаметре, если допускаемый угол закручивания 1 град/м;

5) построить эпюру углов закручивания.

Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали

Числовые данные берутся из табл. 3, расчетные схемы - по рис. 3.

Таблица 3 – Числовые данные к задаче № 3

Номер строки	Номер расч. схемы по	Размер, м			Момент, кН м			[], МПа
	рис. 6	а	B	с
1	1	0,8	0,4	1,0	2,0	1,6	1,0	35
2	2	0,6	0,5	0,5	1,8	1,7	1,2	40
3	3	0,4	0,7	0,7	1,7	0,9	0,7	50
4	4	0,6	0,4	0,6	1,5	0,8	1,5	45
5	5	0,5	0,8	0,4	1,3	2,0	1,4	60
6	6	0,7	1,0	0,8	1,0	1,7	2,0	40
7	7	1,0	0,7	1,0	1,6	1,5	1,6	35
8	8	0,4	0,6	0,5	1,4	1.6	1,8	70
9	9	0,7	0,4	0,6	1,5	0,8	0,9	80
0	10	0,5	0,5	0,4	0,9	1,0	1,5	60
	а	б	в	г	д	е	ж	з

Рисунок 3. Расчетные схемы к задаче № 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 3

Брус, нагруженный парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси, испытывает деформацию кручения. Внутренним силовым фактором в поперечном сечении бруса в этом случае является крутящий момент , величину которого определяют методом сечений.

На основании этого метода можно сформулировать правило для определения крутящего момента в сечении бруса: крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме крутящих моментов, расположенных по одну сторону от этого сечения; при этом крутящий момент, приложенный к брусу, считается условно положительным, если при взгляде вдоль оси бруса с левого конца мы видим его направленным по ходу часовой стрелки.

Размеры и форма поперечного сечения бруса в расчетах на кручение учитываются двумя геометрическими характеристиками: полярным моментом инерции и полярным моментом сопротивления . Для круглого сечения они вычисляются по следующим формулам:

где d - диаметр сечения.

Крутящий момент вызывает в сечениях касательные напряжения , вычисляемых по формуле

,

где - крутящий момент в сечении бруса;

- полярный момент инерции сечения;

- расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяются напряжения.

Условие прочности записывается в виде

где - максимальная по модулю величина крутящего момента, определяемого по эпюре ;

- полярный момент сопротивления;

[] - допускаемое касательное напряжение.

Деформация при кручении характеризуется углом закручивания (рад):

где l - длина бруса; G - модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

Угол закручивания на единице длины бруса называется относительным углом закручивания и вычисляется по формуле

.

Условие жесткости накладывает ограничение на величину относительного угла закручивания:

,

где [ ] - допускаемый угол закручивания.

Условие жесткости с учетом формулы (3.6) имеет вид

.

ЗАДАЧА № 4

Для двух заданных сечений, состоящих из нескольких элементов или имеющих вырезы, определить положение главных центральных осей инерции и вычислить величины моментов инерции относительно этих осей.

Первое сечение для расчета выбирается по рис.4, второе - по рис.5. Размеры элементов сечений и номера прокатных профилей берутся из табл.4. При расчете сечения, состоящего из прокатных профилей, уголок следует принимать в соответствии с заданными размерами; он может быть равнобоким или неравнобоким.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 4

Рассматриваемая задача относится к разделу "Геометрические характеристики плоских фигур".

При расчете на изгиб, кручение и другие виды более сложного нагружения для оценки прочности и жесткости бруса недостаточно знать только площадь его поперечного сечения, требуется определять другие геометрические характеристики сечения: статический момент площади, осевые, центробежный и полярный моменты инерции.

Таблица 4 – Числовые данные к задаче № 4

Номер	Номер расчет. схемы	Размер	Прокатный профиль
строки	(рис. 8,9)	а, см	полоса	швеллер	двутавр	уголок
1	1	10	16010	10	12	75758
2	2	20	18010	12	14	75506
3	3	12	1806	14	10	90906
4	4	14	20010	14а	16	80506
5	5	22	2006	16	12	80808
6	6	15	1608	16а	18	70455
7	7	18	2108	14	14	75756
8	8	16	22010	12	16	80506
9	9	20	2208	14а	10	70706
0	10	25	1808	10	12	63406
	а	б	в	г	д	е

Рисунок 4. Расчетные схемы к задаче № 4 (для первого сечения)

Рисунок 5. Расчетные схемы к задаче № 4 (для второго сечения)

O

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру площадью F, отнесенную к системе координат zoy (рис. 6).

Обозначим: dF - площадь элементар-ной площадки; y, z - расстояние ее центра тяжести до осей координат.

Выражения вида

(4.1)

называются статическими моментами площади относительно осей y и z соответственно.

Рис. 6. Плоская фигура

Зная величины статических моментов площади фигуры, можно вычислить координаты ее центра тяжести. Если заданное сечение можно разбить на части, для которых известны положения их центров

тяжести и величины площадей, координаты центра тяжести всей фигуры определяются по формулам

)

где n - число элементов, на которое разбивается сечение;

- площади отдельных элементов сечения;

- координаты центров тяжести этих элементов в выбранной системе

координат y, z.

Центр тяжести лежит на оси симметрии сечения, а если таких осей несколько - в точке их пересечения.

Моментами инерции (осевыми моментами инерции) относительно осей y и z соответственно называются интегралы вида

(4.3)

Для простейших фигур и прокатных профилей величины моментов инерции приводятся в учебной и справочной литературе.

Выражение

называется центробежным моментом инерции. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Если хотя бы одна из выбранных координатных осей является осью симметрии, то обе эти оси будут главными. Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции. Они являются экстремальными по величине: один из них максимален, другой минимален.

Осевой момент инерции составного сечения вычисляется как сумма осевых моментов инерции отдельных составляющих фигур относительно одной и той же оси. При этом необходимо помнить, что в таблицах сортамента прокатных профилей моменты инерции простых элементов определены относительно их собственных центральных осей, которые показываются на чертежах. Центральные оси составной фигуры обычно не совпадают с табличными, и для вычисления моментов инерции подобных фигур приходится использовать зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

где - моменты инерции сечения относительно произвольных осей;

- моменты инерции сечения относительно центральных осей;

F - площадь фигуры ;

а и в - расстояние между осями и соответственно.

ЗАДАЧА № 5

Для заданных схем балок требуется:

0. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

подобрать поперечные сечения балок по следующим вариантам:

а) для стальной балки (рис.7,а) - двутавровое; прямоугольное высотой h и основанием b при соотношении сторон h/b=2; круглое - диаметром d;

б) для чугунной балки (рис.7,б) - форму сечения выбрать по рис.8, определить размеры сечения из условия прочности по допускаемым напряжениям;

в) для стальной балки (рис.7,в) - сечение, состоящее из двух швеллеров.

0. Для стальной двутавровой балки (вариант а) и чугунной балки (вариант б) построить эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения.

Числовые данные берутся из табл. 5, расчетные схемы - по рис.7.

Таблица 5 – Числовые данные к задаче № 5

Номер строки	Номер расч. схемы (рис. 13,14)	Сила		Момент		Длина участ- ка	Интен- сивность распреде- ленной	Допускаемое напряжение, , МПа
		P1	P2	m1	m2	а,	нагрузки q,	Сталь	Чугун
		кН	кН	кНм	кНм	м	кН/м
1	1	40	90	10	10	1	10	200	600	120
2	2	45	80	12	10	1,5	15	160	700	150
3	3	50	85	15	14	2	20	180	500	100
4	4	35	70	12	12	1	10	250	800	150
5	5	50	80	10	15	2	10	160	600	120
6	6	60	70	10	12	1	15	180	700	150
7	7	45	60	12	10	1,5	20	180	500	100
8	8	35	65	10	10	1	10	160	800	150
9	9	40	75	13	10	1	10	160	650	130
0	10	30	90	18	12	2	15	220	750	200
	а	б	в	г	д	е	ж	з	и	к

Рисунок 7. Расчетные схемы балок к задаче № 5

Рисунок 8. Формы сечений чугунных балок к задаче № 5

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 5

При изгибе в поперечном сечении бруса, который в этом случае называется балкой, возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M_z.

Поперечной силой в сечении называется внутреннее усилие, численно равное алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, на нормаль к оси балки. Поперечная сила считается положительной, если она стремится вращать бесконечно малый элемент балки по ходу часовой стрелки. Обратное направление вращения соответствует отрицательной поперечной силе (рис.9).

Рис. 9. Правило знаков для поперечной силы

Изгибающим моментом в сечении балки называется внутреннее усилие, численно равное алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно его центра тяжести. Изгибающий момент положителен, если под его воздействием балка изгибается выпуклостью вниз; при изгибе выпуклостью вверх изгибающий момент считается отрицательным (рис.10). Эпюра изгибающего момента строится со стороны сжатого волокна балки, которое находится с вогнутой части балки. Положительные значения изгибающего момента откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.

Примечание: Студенты строительных специальностей строят эпюру изгибающего момента со стороны растянутого волокна, что не влияет на результаты расчетов балок на прочность и жесткость.

Рисунок 10. Правило знаков для изгибающего момента

При решении задач, связанных с расчетами балок на прочность и жесткость, строятся графики изменения этих усилий по длине бруса - эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Целью построения эпюр при расчетах на прочность является наглядное представление изменения внутренних усилий в сечении в зависимости от его положения и определение наиболее нагруженных участков балки.

Для того чтобы установить закон изменения внутренних усилий по длине балки, выбирается прямоугольная система координат, ось абсцисс x направляется вдоль оси балки, а оси y, z совмещаются с главными центральными осями инерции поперечного сечения. Затем записываются аналитические выражения для поперечной силы и изгибающего момента в виде функций от абсциссы x, определяющей положение рассматриваемого сечения. Составив уравнения Q(x) и M_z(x), абсциссам дают последовательно конкретные значения и вычисляют величины Q и M_z,, откладывая их в принятом масштабе от оси эпюры вверх или вниз, строя таким образом графики функций Q(x) и M_z(x) - эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

При изгибе балки в ее поперечном сечении возникают нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения определяются по формуле

,

где M_z - изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

J_z - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;

y - расстояние от нейтральной оси до точки, где определяется напряжение.

Условие прочности при изгибе для пластичных материалов

,

где _z - осевой момент сопротивления при изгибе, вычисляемый относительно нейтральной оси. Для простых геометрических фигур его вычисляют по формулам:

для прямоугольника ;

для круга .

Моменты сопротивления прокатных профилей приводятся в таблицах сортамента.

Для хрупких материалов (чугун, высокоуглеродистые стали), имеющих существенно различные пределы прочности при растяжении и сжатии , требуется проверка их прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям :

,

где , ; n- запас прочности.

ЗАДАЧА № 6

Для двух заданных плоских рам построить эпюры изгибающих моментов. Схемы рам и числовые данные для решения задачи выбираются из табл.6 и по рис.11.

Таблица 6 – Числовые данные к задаче № 6

Номер строки	Номер расч. схемы	Сила, кН			Момент, кНм		Размер а, м
	(рис.25)
1	1	10	12	6	4	6	2
2	2	8	4	1	5	5	1
3	3	2	4	2	6	4	2
4	4	10	6	4	2	8	2
5	5	6	4	4	4	6	2
6	6	8	6	6	6	4	1
7	7	2	2	6	5	2	2
8	8	2	5	4	2	8	2
9	9	5	10	2	4	4	2
0	10	2	4	4	5	4	1
	а	б	в	г	д	е	ж

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 6

Рамой называется стержневая система, составные части которой во всех или некоторых узлах жестко связаны между собой. В плоской раме оси ее элементов лежат в одной плоскости, совпадающей с плоскостью приложения внешних нагрузок. Ось рамы представляет собой ломаную линию, каждый прямолинейный участок которой рассматривается как балка. Дифференциальные зависимости между Q, M_z, q, полученные для балки, и выводы, вытекающие из этих зависимостей, справедливы и для отдельных элементов рамы. Внутренние усилия, возникающие в поперечном сечении стержня плоской рамы, в общем случае приводятся к трем силовым факторам: продольной силе N, поперечной силе Q, изгибающему моменту M.

Основные принципы построения эпюр Q, M, N для плоских рам те же, что и для балок. Дополнительно отметим, что границами участков также являются сечения, в которых соединяются стержни (узлы рамы). Если рама

Рисунок 11. Расчетные схемы рам к задаче № 6

имеет более одной опоры, следует до построения эпюр, найти опорные реакции, которые в дальнейшем рассматриваются как внешние нагрузки. Аналитические зависимости для Q(x), M(x), N(x) обычно не записываются. Внутренние усилия вычисляются на границах участков и в характерных точках, т.е. там, где изгибающий момент экстремален.

Ординаты эпюр откладываются перпендикулярно оси рамы, при этом эпюра M строится со стороны сжатого волокна стержня.

ЗАДАЧА № 7

Для заданной статически неопределимой балки требуется:

1) раскрыть статическую неопределимость;

2) построить эпюру изгибающих моментов;

3) подобрать двутавровое сечение по условию прочности балки;

4) определить угол поворота сечения L и прогиб в сечении К.

Для всех вариантов принять: допускаемое напряжение [] = 160 МПа, модуль упругости .

Числовые данные берутся из табл.7, расчетные схемы - по рис.12.

Таблица 7 – Числовые данные к задаче № 7

Номер	Номер расч.	Нагрузка
строки	схемы по рис.28	q, кН/м	P, кН	P1, кН	m, кНм	Размер a, м
1	1	5	10	10	4	1,0
2	2	4	8	5	6	1,5
3	3	8	6	8	4	1,0
4	4	10	8	12	2	0,8
5	5	12	5	7	5	1,2
6	6	6	7	10	7	1,0
7	7	5	10	6	3	1,2
8	8	10	11	9	4	0,8
9	9	8	8	7	5	0,6
0	10	7	5	10	6	1,0
	а	б	в	г	д	е

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 7