5.Несобственные интегралы первого и второго рода. Признаки сходимости несобственных интегралов.
Несобственным
интегралом 1-го рода
называется
,
то есть
=
.
Если этот предел существует и конечен,
то интеграл называется сходящимся,
иначе интеграл называется расходящимся.
Несобственный
интеграл 2-го рода-
функция f(x) определена и непрерывна при
и имеет разрыв при x=b,
тогда
=
.
Если при этом предел, стоящий справа, существует и конечен, то интеграл сходящийся, иначе расходящийся.
Признаки сходимости несобственных интегралов.
Первая
теорема сравнения.
Пусть f(x) и g(x) непрерывны на бесконечном
интервале [a;
и при x
выполняются неравенства 0
Тогда:
1)Из
сходимости интеграла
следует сходимость интеграла
;0
2) Из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Вторая
теорема сравнения.
Пусть f(x) и g(x) непрерывны на бесконечном
интервале [a;
и существует предел
,
где А- конечное положительное число.
Тогда интегралы
и
одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
6.Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей и объемов тел вращения.
Площадь
криволинейной трапеции S, ограниченная
непрерывными линиями y=
(x),
y=
(x),
x=a и x=b, где
(x)
,
вычисляется по формуле S=
Объём
тела,
образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции ограниченной
непрерывной кривой y=f(x)≥0
и линиями x=a,
x=b
(a<b),
y=0,
вычисляется по формуле: V=
Объём
тела,
образованного вращением вокруг оси Оy
криволинейной трапеции ограниченной
непрерывной кривой x=g(y)≥0
и линиями y=a,
y=b
(a<b),
x=0,
вычисляется по формуле: V=
7.Дифференциальные уравнения. Виды дифференциальных уравнений. Существование и единственность решения дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержит производные неизвестных функций или их дифференциалы.
Решением дифференциального уравнения называется любая функция y= ɸ(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.
Частным
решением
дифференциального
уравнения
n-го порядка называется решение, получаемое
из общего решения при подстановке
вместо постоянных
Конкретных числовых значений.
Виды дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
Уравнения в полных дифференциалах
8.Общее решение дифференциального уравнения. Семейства интегральных кривых, фазовый портрет. Особые точки.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение y= ɸ(x, ), которое является функцией переменной x и n произвольных постоянных .
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения – интегральной кривой.
Общий интеграл – общее решение, записанное в неявном виде.
Частный интеграл – частное решение, записанное в неявном виде.