Для операций сложения и умножения справедливы следующие законы:

1. коммутативность сложения;

2. ассоциативность сложения;

3. коммутативность умножения;

4. ассоциативность умножения;

5. дистрибутивность.

Определения суммы и произведения двух событий обобщаются на случай любого конечного числа слагаемых и сомножителей.

Определение. События называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.

Определение. События образуют полную группу событий, если в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них, т.е. их сумма – достоверное событие:

2. Опыт с равновероятными исходами Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий

, связанную с некоторым опытом. Предположим, что в этом опыте осуществление каждого из событий равновозможно, т.е. нет никаких объективных оснований считать, что одно из событий является более возможным, чем другое. Такой опыт будем называть опытом с равновероятными исходами. В этом случае будем говорить, что события равновероятны и что вероятность каждого события равна :

(«Р» - первая буква англ. слова «probabiliti» - вероятность).

Пример 1. Опыт: подбрасывание игральной кости.

Пусть событие, состоящее в том, что кость выпала с цифрой i.

Мы уже знаем, что образуют полную группу попарно несовместных событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, следовательно, все исходы опыта равновозможны.

.

Определение. События , образующие полную группу попарно несовместных и равновероятных событий, будем называть элементарными событиями.

Пример 2. Монета бросается дважды. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб?

Решение. Элементарные события: оба раза выпал герб; герб выпал при первом подбрасывании; герб выпал только при втором подбрасывании; герб не появился ни разу.

Итого . Благоприятствовать выпадению герба будут , следовательно, .

Пример 3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и помнил лишь, что они различные. Набрал их наудачу. Каков вероятность того, что номер набран правильно?

Решение. Две последние цифры можно набрать способами, а благоприятствовать событию А будет только 1 способ (правильно набрать и дозвониться). .

Пример 4. Среди 100 ламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

Решение. .

3. Основные теоремы теории вероятностей и их следствия

Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Определение. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример 1. Опыт: два студента сдают зачет по высшей математике. Событие А – I отвечает на два вопроса и сдает зачет; событие В – II отвечает на два вопроса и сдает зачет.

В данном случае не зависит от того, произошло событие В или нет, следовательно, А не зависит от В.

Пример 2. Двое туристов обращаются в турагентство для покупки путевки. В агентстве имеются две путевки на Канарские острова; одна путевка на Багамские острова.

А – I турист покупает путевку на Канарские острова; В – II турист покупает путевку на Канарские острова.

Если событие А не произошло, то . Если стало известно, что событие А произошло, то , из чего замечаем, что событие В зависит от события А.

Определение. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается .

Для последнего примера 2 .

Тогда можно дать другое определение независимости событий:

Определение. Событие А называется независимым от события В, если .

Определение. Событие А называется зависимым от события В, если .

Теорема 1 (теорема умножения вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

.

Доказательство. Пусть есть опыт, и возможные исходы опыта сводятся к п случаям, которые мы для наглядности изобразим в виде п точек (рис. 1).

Рис. 1

Предположим, что событию А благоприятны т случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. не предполагается, что А и В несовместны, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А и событию В одновременно. Пусть число таких случаев . Тогда .

Вычислим , т.е. условную вероятность события В в предположении, что А произошло.

Если известно, что А произошло, то из ранее возможных п случаев остаются возможными только те т, которые благоприятствуют событию А. Из них случаев благоприятствуют и событию В. Следовательно,

.

Итак, ; . Теорема доказана.

В частности:

Лемма. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого следующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

Для независимых событий: .

Пример 3. Какова вероятность вынуть из колоды в 36 карт последовательно (без возвращения) 2 карты – туза и короля?

Решение. Рассмотрим 2 события: А – первая вынимаемая карта – туз; В – вторая вынимаемая карта – король; вынуты первая карта – туз и вторая карта – король.

. Если событие А произошло, то . Тогда

.

Теорема 2. (сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Следствие 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Пример 4. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них 3 книги по теории вероятностей, 3 – по математическому анализу и 4 – по линейной алгебре. Студент достает 1 книгу. Какова вероятность, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по линейной алгебре?

Решение. А – студент взял книгу по теории вероятностей; В – он взял книгу по линейной алгебре?

; .

Ответ: 0,7.

Теорема 3. (сложения совместных событий). Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.