§4. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности.

Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если для любого числа существует такое, что при всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство . В этом случае пишут .

Теорема 1. Если предел функции в точке существует, то он единственный.

Теорема 2. Если значение функции заключены между соответствующими значениями функций и , стремящихся при к одному и тому же пределу , то также имеет предел, равный числу .

Определение 2. Число называется пределом функции при , если для любого числа существует такое, что при всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство . В этом случае пишут .

Замечание. Если в определении 2 заменить условие на , то получим определение ; если заменить на , то получим определение .

§5. Основные теоремы о пределах. Односторонние пределы.

Теорема 1. Предел постоянной функции равен самой этой функции.

Теорема 2. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) их пределов, если эти пределы существуют.

Теорема 3. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если эти пределы существуют.

Теорема 4. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2. Если существует , то для любого натурального числа верно равенство .

Следствие 3. Для любого натурального числа верны равенства ; .

§6. Нестандартные ситуации, возникающие при вычислении пределов функций

1. Функция представляет собой дробь, предел знаменателя которой равен нулю. Имеем дробь вида: , которая стремится к .

2. Функция представляет собой дробь, пределы знаменателя и числителя которой равны нулю. Имеем неопределенность , для раскрытия которой нужно разложить числитель и знаменатель дроби на множители и сократить общий множитель.

3. Некоторые слагаемые функции пределов не имеют. Если некоторые слагаемые функции стремятся к , а остальные – к конечным числам, то функция стремится к .

4. Знаменатель функции является величиной бесконечно большой. Имеем дробь вида: , которая стремится к нулю.

5. Функция представляет собой дробь, числитель и знаменателя которой – величины бесконечно большие. Имеем неопределенность , для раскрытия которой нужно разделить числитель и знаменатель дроби на самое большое число.

6. Функция представляет собой разность бесконечно больших величин. Имеем неопределенность , для раскрытия которой нужно:

- если вычитаются дроби, то привести их к общему знаменателю;

- если вычитаются квадратные корни, то умножить и разделить на сопряженный множитель для получения формулы разность квадратов.

§7. Односторонние пределы

1) предел слева ( стремится к , оставаясь меньше );

2) предел справа ( стремится к , оставаясь больше ).

Утверждение. Если односторонние пределы функции в точке равны: , то предел функции в точке существует и равен . Если или хотя бы один из этих пределов не существует, то не существует и предел функции в точке .