1. Цель работы:

1.1. Ознакомиться с основными понятиями оптимизации процесса резания.

1.2. Научиться составлять математическую модель процесса резания в виде целевой функции и линейных неравенств, составляющих ограничения.

1.3. Решить конкретную задачу по нахождению оптимальных режимов обработки резанием.

2. Параметрическая оптимизация

2.1. Общее представление об оптимизации.

Расчет оптимальных параметров (режимов резания, параметров качества и др.) технологического процесса или операции при заданной структуре с позиции определенного критерия называют параметрической оптимизацией. Параметрическая оптимизация предусматривает нахождение таких параметров х_i , i =1, m, при которых целевая функция принимает максимальное или минимальное значение. В качестве целевой функции могут быть выбраны приведенные затраты, технологическая себестоимость, штучное время или штучная производительность, вспомогательное время и др. В данной работе в качестве целевой функции примем минимальную себестоимость.

,

(1)

где с – коэффициент, не зависящий от режимов обработки;

n – частота вращения детали или инструмента;

s – подача.

Из выражения (1) видно, что себестоимость будет минимальной, если произведение n S max

2.2. Составление математической модели оптимизации выбора режимов резания.

Определим ограничения накладываемые на значения целевой функции f_o = n s max

Ограничение 1.

Из совместного решения уравнений

(2)

после несложных преобразований получим:

.

(3)

Поскольку ограничения должны иметь вид линейных неравенств (или уравнений), то преобразуем неравенство (3) к линейному логарифмированием

(4)

введем обозначения

.

(5)

Во втором обозначении для х₂ подача S умножается на 100 в связи с тем, что она является дробной величиной, при этом, если S<1 то логарифмы будут отрицательными, в то время как в математической модели с применением линейного программирования они должны быть положительными.

Таким образом, первое ограничение с учетом обозначений (5) примет вид:

.

(6)

При этом и оценочная (целевая) функция после логарифмирования преобразуется в выражение

.

(7)

Ограничение 2.

Мощность электродвигателя станка имеет предельное значение и вычисляется по формуле

,

(8)

где Р_z - сила резания, Н;

-скорость резания, м/мин;

-КПД станка.

.

(9)

Сопоставляя (8) и (9) найдем

.

(10)

После логарифмирования находим второе ограничение

,

(11)

где b₂ – равно

.

(12)

Ограничения 3 и 4.

Определяют наибольшую и наименьшую частоту вращения шпинделя станка или инструмента. Они выбираются по справочным данным применяемых станков

;	(13)
.	(14)

Ограничение 5 и 6 для подачи определяются аналогично ограничениям 3 и 4

;	(15)
.	(16)

Определяющее ограничение 7.

Если подача определяется допустимой шероховатостью, то к неравенствам (15) и (16) необходимо добавить неравенство

,

(17)

где R_z – заданная шероховатость, мм

r – радиус закругления резца, мм.

Ограничение 8.

Определяет предельную силу резания исходя из допустимого прогиба детали.

При токарной обработке возможны две схемы обработки: в центрах и при консольном расположении детали. Соответственно этому рассмотрим две схемы нагружения.

Схема 1.

Рис. 1. Схема нагружения вала при обработке в центрах. Усилие резания приложено на равных расстояниях от центров. При обработке в центрах (рис.1) прогиб вала от радиально направленной составляющей силы резания Ру равен
,	(18)

где Е – модуль упругости материала детали, МПа

j – момент инерции поперечного сечения вала или трубы, мм⁴

Для круга j = 0,05d⁴; для кольцевого сечения j = 0,05d₀⁴ (1-⁴),  = d₀ / d_н,

d_н – наружный диаметр кольца, мм; d₀ – внутренний диаметр кольца, мм.

Схема 2.

При консольном закреплении детали (рис. 2)

Рис. 2. Схема нагружения при обработке консольного расположения вала. Усилие обработки Ру приложено к свободному концу вала.
.	(19)

Обозначим через С_у, и С_к величины

;	(20)
,	(21)

где [f] – допустимое значение прогиба детали выбираемое в зависимости от точности обработки.

В результате получим

.

(22)

Отсюда ограничение 8 по жесткости детали примет вид

,

(23)

Аналогично могут быть составлены ограничения по жесткости инструмента и шероховатости.

Исходя из вышеизложенного составлена и сведена в единую систему неравенств следующая математическая модель для определения режимов резания определяющая при максимальной производительности минимальную себестоимость.

; ;

Возможны и другие ограничения.

После определения значений х₁ и х₂ – определяющих максимум целевой функции соответствующие численные значения оптимальных режимов резания вычисляются по следующим зависимостям:

;	(24)
,	(25)

где е = 2,71 – основание натуральных логарифмов.

Особенностью данной задачи является то, что представленная математическая модель содержит только две независимые переменные х₁ и х_2. Следовательно, задача может решаться графически. Для этого на плоскости в заданном масштабе вычерчивают прямоугольную систему координат х₁ох₂ . Поскольку переменные х₁ и х₂ должны быть больше нуля, то искомое решение находится в первом квадранте. Заменив в неравенствах знаки неравенства знаками равенства, строят прямые, ограничивающие многогранник, в пределах которого расположена область допустимых решений (ОДР). Значения переменных х₁ и х₂ определяющие максимум целевой функции находятся в одной из вершин полученного многоугольника.