1.5 Примеры функций Ляпунова
1.5.1 Функции класса к, или функции Хана
Определение.
Множество скалярных функций скалярного
аргумента вида
называется множеством функций вида К,
или множеством функций
Хана,
,
если они обладают следующими свойствами:
1
)
– вещественная функция вещественного
аргумента
2) - непрерывна по аргументу r;
3)
4) – строго (монотонно) возрастающая функция, (1.5.1)
т.е.
5)
при
Утверждение.
Для системы (1.4.1), если она определена
на всем
,
функция Хана
есть функция Ляпунова, допускающая
бесконечный предел в целом (следует из
определений).■
1.5.2 Вещественные квадратичные формы
Определение
(квадратичной формы).
Скалярная вещественная функция
векторного вещественного аргумента
,
называется вещественной
квадратичной формой,
если она определяется выражением:
(1.5.2)
причем
(эти коэффициенты симметричны относительно
двойного индекса),
Квадратная
таблица коэффициентов квадратичной
формы есть
– матрица вида
,
(1.5.3)
симметричная
относительно главной диагонали,
называется матрицей
квадратичной формы
(1.5.2),
– симметричная матрица.
Таким
образом, любая вещественная квадратная
симметричная числовая матрица
порождает квадратичную
форму
вида:
(1.5.2’)
Теорема (о свойствах вещественной квадратичной формы).
Пусть дана вещественная квадратичная форма
Тогда имеет место следующее утверждение:
а) – функция Ляпунова, допускающая бесконечный предел в целом.
б) имеет место так называемый критерий Сильвестра.
Критерий Сильвестра.
1.
Квадратичная форма
является положительно определенной
тогда и только тогда, когда все главные
последовательные диагональные миноры
матрицы Р
квадратичной формы
строго положительны, т. е. для матрицы
вида
имеют место следующие неравенства:
(1.5.4)
2.
Квадратичная форма
является
отрицательно определенной функцией
Ляпунова тогда и только тогда, когда
главные последовательные диагональные
миноры матрицы
имеют
перемежающиеся знаки, а именно:
.
(1.5.5)
(в)
Вещественная симметричная матрица
,
всегда имеет только вещественные
собственные значения - корни
характеристического многочлена матрицы
вида:
(1.5.6)
где
- формальная скалярная переменная, Е
– единичная матрица.
(г) Для любой квадратичной формы
имеет место следующая двусторонняя оценка:
(1.5.7)
где
— векторная евклидова норма (
— норма)
,
—
соответственно, наименьшее и наибольшее
собственные значения симметричной
матрицы P
(без доказательства).■
Замечание.
Поскольку вещественная квадратичная
форма однозначно определяется матрицей
,
то зачастую пишут
,
имея ввиду, что матрица P
определяет положительно определенную
или отрицательно определенную вещественную
квадратичную форму.■
Утверждение (о построении симметричных матриц).
а)
Пусть
— любая вещественная квадратичная
матрица. Тогда
= P =
- вещественная симметричная матрица, а
если, вдобавок,
(rank←D=n)
(говорят, D
- неособенная, или невырожденная
квадратная матрица, или матрица полного
ранга) то
- положительно определенная.
б)
Любая квадратная вещественная матрица
допускает
следующее разложение:
,
где
—
симметричная матрица;
—
кососимметричная
матрица и имеет место следующее равенство:
, причем
(1.5.8)
т.е. с помощью любой вещественной квадратной матрицы можно построить некоторую квадратичную форму.
Приведенные утверждения легко проверить непосредственными вычислениями. ■