2 Енергія і потужність сигналів

Звичайне співвідношення для визначення потужності, що розсіюється резистором, відоме ще з шкільного курсу фізики: , де U - постійна напруга; R - опір резистора. Теплова енергія, яка виділяється в ньому, - , де - час.

Якщо напруга є змінною у часі, тобто є сигналом , тоді потужність, розсіюється на цьому резисторі також залежатиме від часу, тобто є миттєвою потужністю (instantaneous power)

.

Для обчислення енергії, яка виділяється за час T, потрібно виконати інтегрування миттєвої потужності

.

Вводять також поняття середньої потужності (average power) за заданий проміжок часу

.

В усі ці вирази входить - опір навантаження. В теорії сигналів для порівняння різних сигналів, коли невідоме і є неважливим конкретне значення , приймають його величину рівною 1, виключаючи таким чином з наведених вище формул. В результаті отримаємо визначення миттєвої потужності, енергії та середньої потужності, які прийняті в теорії сигналів:

; ; .

«Потужність» при такому записі має розмірність В², енергія - В²/с. Таким чином, в даному випадку маємо чисельні значення миттєвої потужності, енергії та середньої потужності, які розсіюються на резисторі з опором 1 Ом. За потреби нескладно перерахувати ці значення для довільного значення .

Якщо енергія сигналу нескінченна, то:

; .

Можна також зазначити, з точки зору класифікації сигналів, інший важливий в теорії сигналів клас сигналів - сигнали з інтегрованим квадратом. Інакше їх називають сигналами з обмеженою енергією. Для таких сигналів є справедливим співвідношення

.

Багато важливих співвідношень в теорії сигналів отримуються за умови кінцевої енергії сигналів, що аналізуються. Якщо ж ця умова не виконується змінюють підхід до рішення задачі (наприклад, визначення кореляційної функції для сигналів з кінцевою і нескінченою енергію, тема 5) або застосовують апарат узагальнених функцій (Фур’є-аналіз не інтегрованих сигналів). Далі розглянемо тестові сигнали, які є узагальненими функціями і широко застосовуються в метрології і радіотехніці як при теоретичних розрахунках, так і з певним наближенням на практиці.

3 Тестові сигнали. Дельта функція. Функція одиничного стрибка.

Найбільш поширеними тестовими сигналами (які є елементарними), окрім гармонічного сигналу, які широко застосовуються для динамічного представлення сигналів, є одинична функція, функція включення або функція Xевісайда (Гевісайда) і функція Дірка або δ-функція. Такі сигнали застосовуються для обчислення реакції відгуку фізичної системи на відомий вхідний сигнал. Це потребує специфічної форми представлення сигналів.

Принцип динамічного представлення.

Функція Xевісайда описується рівнянням

Вона має один параметр - момент часу t₀. Функція може бути отримана в результаті обчислення границі функції вигляду [5] при

Функція Дірка або δ-функція описується рівнянням

Приклад: зображення δ-функції

Рис. 2.3. Графік сигналу

Вона має спектр нескінченної ширини, один параметр - момент часу t₀ і такі властивості:

• .

де ε - будь-яке скільки завгодно мале число.

δ-функцію можна розглядати як граничну функцію однопараметричного сімейства неперервних функцій, наприклад нормального розподілу з нескінченно малим середньоквадратичним

.

• Одинична і δ-функції пов'язані між собою такими виразами:

; .

• Важливою особливістю δ-функції є фільтрувальна дія, яка описується рівнянням

.

Його використовують для динамічного представлення сигналу

(фізична розмірність δ-функції, як частоти, 1/с)

та зображення дискретизованої у часі функції з кроком дискретизації Δt:

.

Гармонійний сигнал описується наведеним вище (див. лекцію 1) рівнянням синусоїди. Параметрами такого сигналу є: амплітуда у_т, період Т (або частота у= 1/Т, або колова частота ω) і початкова фаза φ₀.

У ЗВ використовують велике число ВС, що мають різноманітні форми, тому розглянемо найпоширеніші з них.

Прямокутні імпульси. Поодинокий ідеальний прямокутний імпульс описується рівнянням

,

тобто він формується як різниця двох одиничних функцій, зсунутих за часом на величину - тривалість імпульсу.

Послідовність прямокутних імпульсів є сумою поодиноких імпульсів .

Для її опису потрібно знати три параметри: амплітуду A_т, тривалість τ і період Т. Відношення періоду до тривалості прямокутного імпульсу називають шпаруватістю, а обернену величину - коефіцієнтом заповнення. При шпаруватості, що дорівнює двом, послідовний імпульс називають меандром.

Ідеальних прямокутних імпульсів у природі не існує, а у реальних імпульсах час зміни сигналу від нульових до амплітудних значень (і обернено) завжди має скінченну тривалість, тобто має фронти τ_ф і τ_с. Отже, у реальних імпульсів буде трапецеїдальна форма.

Трапецеїдальний імпульс також є ідеалізацією реальних імпульсів, які мають складнішу форму. Він відрізняється від трапеції складом вершини імпульсу, викидами на вершині і у паузі та іншими особливостями, врахованими у системі параметрів реального прямокутного імпульсу.

Сигнали з лінійними ділянками. Під час побудови ЗВ широко застосовують періодичні сигнали з лінійними ділянками. Це передусім лінійний знакозмінний і однополярний лінійно-змінний (пилкоподібний) сигнали.

Лінійний знакозмінний сигнал описується рівнянням

а пилкоподібний сигнал

.

ЛІТЕРАТУРА

1. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.. (Электронный ресурс)

2. Волощук Ю.Л. Сигнали та процеси в радіотехніці том. 1-4. - Харків: «СМІТ», 2003.

3. Бизин А.Т. Введение в цифровую обработку сигналов. -Новосибирск 1998.

4. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. – Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь 1990.

5. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: «Высшая школа» 2003.

6. Гетманов В.Г. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. Изд. 2-е, расш. и перераб. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 232 с.

14