8. Зв'язок перетворення Фур'є і коефіцієнтів ряду Фур'є

Нехай s(t) - сигнал кінцевої тривалості, а S(ω) - його спектральна густина. Отримаємо на основі s(t) періодичний сигнал, узявши період повторення Т не менше тривалості сигналу: s_Т(t) = s(t-kT).

З порівняння формул для розрахунку перетворення Фур'є сигналу s(t)

і

для розрахунку коефіцієнтів ряду Фур'є сигналу s_T(t), можна помітити, що ці формули передбачають обчислення одного і того ж інтегралу. Відмінність полягає в тому, що для розрахунку коефіцієнтів ряду Фур'є в підінтегральний вираз підставляються не довільні, а дискретні значення частоти ω_k=2πk/T і, крім того, результат інтегрування ділиться на період сигналу T. Таким чином, між спектральною функцією поодинокого імпульсу і коефіцієнтами ряду Фур'є для періодичної послідовності таких імпульсів існує простий зв'язок:

ЗАУВАЖЕННЯ

Ця формула справедлива і у тому випадку, якщо період повторення імпульсів менше їх тривалості (тобто якщо сусідні імпульси періодичної послідовності перекриваються).

Далі розглянемо приклади Фур'є-аналізу неінтегрованих сигналів.

Фур'є-аналіз неінтегрованих сигналів

При введенні поняття перетворення Фур'є були вказані умови його застосовності: виконання умов Діріхле і абсолютна інтегрованість сигналу. Проте у ряді випадків можна застосувати перетворення Фур'є і до сигналів, що цим умовам не задовольняють, і отримати при цьому цілком осмислений і практично корисний результат.

Отже, зараз ми скористаємося перетворенням Фур'є для спектрального аналізу таких сигналів, до яких воно формально непридатне.

Дельта-функція

Передусім обчислимо перетворення Фур'є для сигналу у вигляді дельта-функції (про її властивості йшла мова в розділі "Класифікація сигналів", і її фільтрувальна властивість (1.1) зараз нам знадобиться) :

.

Спектр дельта-функції є константою, тобто є рівномірним в нескінченній смузі частот.

Це цілком узгоджується із загальним співвідношенням між тривалістю сигналу і шириною його спектру: дельта-імпульс має нескінченно малу тривалість, а його спектр нескінченно широкий. З отриманого результату виходить, що дельта-функцію можна записати у вигляді оберненого перетворення Фур'є таким чином

.

Це корисне співвідношення використаємо при аналізі наступного сигналу.

Постійний за часом сигнал (константа)

Оскільки ми вже знаємо, що спектром дельта-функції є константа, завдяки дуальності перетворення Фур'є, можна відразу ж сказати, що спектром константи (s(t) = А) буде дельта-функція частоти. Перевіримо це, скориставшись тільки що отриманим співвідношенням:

Наші припущення повністю підтвердилися. Тут знову добре простежується обернена пропорційність між тривалістю сигналу і шириною його спектру: нескінченно протяжний сигнал має нескінченно вузький спектр.

Функція одиничного стрибка

Функція одиничного стрибка (див. розділ "Класифікація сигналів") є інтегралом від дельта-функції, тому, відповідно до властивостей перетворення Фур'є , ми отримаємо

.

Оскільки функція має ненульову (рівну 1) постійну складову, то в повній відповідності з формулою

приведеною для даного випадку в розділі 5 "Властивостей перетворення Фур'є", в спектрі з'являється додатковий доданок у вигляді дельта-функції на нульовій частоті.

Гармонійний сигнал

Розрахуємо спектр гармонійного сигналу загального вигляду: .

Помножимо вихідний сигнал f(t) , спектр якого нам відомий, на гармонійну функцію: і подивимося, що сталося із спектром сигналу:

.

Для розрахунку спектральної функції представимо косинус у вигляді півсуми комплексних експонент і скористаємося формулою :

Результат, як бачимо, є парою дельта-функцій, розташованих на частотах ±ω₀. Множники при них відбивають амплітуду і початкову фазу (тобто комплектую амплітуду) гармонійного сигналу.

ЗАУВАЖЕННЯ

Той же результат можна було б отримати, застосувавши до спектру постійного за часом сигналу властивість перетворення Фур'є, що стосується множення сигналу на гармонічну функцію.

Комплексна експонента

Цей сигнал, на відміну від попередніх, є уявним:

.

Результат обчислення його спектру легко передбачити: тільки що розглянутий гармонійний сигнал дав спектральну функцію у вигляді двох дельта-функцій, а косинус за допомогою формули Ейлера можна представити у вигляді півсуми двох комплексних експонент. Тому, спектром комплексної експоненти повинна бути поодинока дельта-функція

.

Результат, як бачите, відповідає очікуванню. Зверніть увагу на те, що оскільки сигнал не є дійсним, його спектр втрачає властивість симетрії.

На перший погляд, користь від розгляду комплексних сигналів невелика. Однак вони виявляються дуже зручним засобом для аналізу модульованих сигналів, особливо коли у них одночасно міняються і амплітуда, і початкова фаза.

Довільний періодичний сигнал

Як ми вже знаємо, періодичний сигнал з періодом Т може бути представлений у вигляді ряду Фур'є

Після обчислення спектрів гармонійного сигналу і комплексною експоненти стає ясно, що спектральна функція такого сигналу є набором дельта-функцій, розташованих на частотах гармонік ряду Фур'є

Множники при дельта-функціях дорівнюють відповідним коефіцієнтам ряду Фур'є , помноженим на 2π.

ЛІТЕРАТУРА

1. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.. (Электронный ресурс)/

2. Волощук Ю.І. Сигнали та процеси в радіотехніці том. 1-4. - Харків: «СМІТ», 2003.

3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986. – 512 с.

43. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: «Высшая школа» 2003.

5. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. – ОΔЕКА, 1999. – 175 с.

12