Аппроксимация прямыми, параболами
Пусть имеется множество точек
наблюдений, через него всегда можно
провести такую прямую
,
которая является «наилучшей» среди
всех прямых, т.е. «ближайшей» к точкам
наблюдений по их совокупности. В качестве
критерия близости, как было уже сказано,
используется минимум суммы квадратов
разностей наблюдений зависимой переменной
и теоретических, рассчитанных значений
:
,
Для
краткости далее обозначим
через
.
Для нахождения минимума функции
находим:
– среднее арифметическое. Из системы
получаем:
,
.
В случае необходимости аппроксимации
статистических данных
квадратичной функцией
необходимо находить минимум функции
,
решая следующую систему:
.
Пример 1. Исследовать характер изменения с течением времени уровня производства мяса и валового сбора зерна во второй половине 90-х годов, располагая следующими статистическими данными:
Таблица 4.1
Данные по производству мяса и зерна в России
Год |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
Валовой сбор(млн.т.) |
191,7 |
210,1 |
211,4 |
195,0 |
209,0 |
Производство мяса (млн.т.) |
17,1 |
18,0 |
18,9 |
19,7 |
19,7 |
Очевидна тенденция к увеличению производства мяса, а нарастание валового сбора зерна в 1995-1997 гг. сменилось его уменьшением в дальнейшем. Поэтому имеет смысл искать зависимость производства мяса от времени в виде линейной функции, а изменение валового сбора зерна описать с помощью квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом.
Вычисления значительно упростятся, если 1997 год примем за начало отсчета. Тогда таблица данных производства мяса примет вид:
Таблица 4.2
Приведенные данные производства мяса
Год ( |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
Производство мяса ( |
17,1 |
18,0 |
18,9 |
19,7 |
19,7 |
)
)Применим метод наименьших квадратов.
Результаты вычислений приведены в следующей таблице:
Таблица 4.3
Данные промежуточных вычислений
-
1
-2
17,1
-34,2
2
2
-1
18,0
-18,0
1
3
0
18,9
0
0
4
1
19,7
19,7
1
5
2
19,7
39,4
4
0
93,4
6,9
10
Рассчитываем средние значения
и
по формулам:
.
Затем вычисляем коэффициенты регрессии
по формулам:
, .
или из системы для нахождения неизвестных коэффициентов, которая в данном случае примет вид
,
находим
.
Искомая зависимость производства мяса от времени имеет вид
.
Графическое представление:
Таблица 4.4
Приведенные данные валового сбора зерна
Год ( ) |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
Валовой сбор ( ) |
191,7 |
210,1 |
211,4 |
195,0 |
209,0 |
Применим метод
наименьших квадратов, считая, что в
данном случае имеет место зависимость
.
Таблица 4.5
Результаты промежуточных вычислений
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
191,7 |
-383,4 |
4 |
-8 |
16 |
766,8 |
2 |
-1 |
210,1 |
-210,1 |
1 |
-1 |
1 |
210,1 |
3 |
0 |
211,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
195,0 |
195,0 |
1 |
1 |
1 |
195,0 |
5 |
2 |
209,0 |
418,0 |
4 |
8 |
16 |
836,0 |
|
0 |
1017,2 |
19,5 |
10 |
0 |
34 |
2007,9 |
Из системы для нахождения неизвестных коэффициентов, которая в данном случае примет вид
,
находим
.
Искомая зависимость производства мяса от времени имеет вид
.
Аппроксимация гиперболической функцией
В расчетах динамический ряд может быть описан уравнением гиперболы
.
Для
гиперболической зависимости способ
наименьших квадратов дает такую систему
нормальных уравнений (
понимается как
):
.
Решая это уравнение способом определителей, находим
;
.
Пример 3. За период 1999-2004гг. известен товарооборот регионального склада (табл. 6). Сделайте прогноз товарооборота регионального склада на 2005-2006гг.
Таблица 4.6
Товарооборот регионального склада за период 1999-2994гг.,
млн. усл. ден. ед.
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
70 |
100 |
140 |
180 |
200 |
240 |
Решение.
По данным табл. 6. строим график изменения
товарооборота. Она изменяется по
гиперболе. Эта связь между указанными
признаками соответствует уравнению
гиперболы
.
В этой формуле необходимо определить параметры a и b.
Для нахождения параметров a и b составим табл. 4.7. Определив параметры a и b, мы составим уравнение гиперболы для прогнозирования товарооборота в 2005-2006гг.
Табл. 4.7
Таблица нахождения параметров a и b
Х |
1/Х |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
70 |
0,01428 |
70,0 |
2 |
0,5 |
0,25 |
100 |
0,01000 |
50,0 |
3 |
0,33 |
0,109 |
140 |
0,00714 |
46,6 |
4 |
0,25 |
0,062 |
180 |
0,00055 |
45,0 |
5 |
0,2 |
0,04 |
200 |
0,00500 |
40,0 |
6 |
|
0,029 |
240 |
0,00416 |
40,0 |
Σ21 |
Σ2,45 |
Σ1,491 |
Σ930 |
Σ0,04113 |
Σ291,6 |
.
.
Уравнение гиперболы для прогнозирования товарооборота:
.
Спрогнозируем товарооборот на 2005 и 2006 гг.
;
.