§3 Понятие области в пространстве и понятие функции в

Опр Под -окрестностью в точке понимают совокупность точек :

Опр Точка -окрестность точки , которая состоит только из точек множества M.

Опр Множество M называется открытым, если любая ее точка является внутренней.

Опр Множество М называется ограниченным, если оно целиком лежит в шаре конечного радиуса.

Опр Множество М называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в М.

Опр Открытое связное множество называется областью.

Опр Точка называется граничной для V, если в любой ее -окрестности содержатся точки как принадлежащие M, так и не принадлежащие.

Опр Множество граничных точек называется границей.

Опр Множество М называется замкнутым, если все граничные точки

Опр Говорят, что на множестве М задана функция, если указан закон, по которому каждому ставится в соответствии единственное число .

Для функции нескольких переменных верны арифметические операции, как и для обычных функций:

1. Умножение на число

2. Сложение функций

3. Умножение функций

4. Деление функций

§4 Понятие предела функции в точке. Свойства предела.

Опр Говорят, что функция f имеет пределом число a в точке , если

(1)

Пусть - произвольная последовательность, сходящаяся к

Опр Говорят, что функция f в точке имеет пределом число a, если для (2)

Теорема

Определения пределов (1) и (2) эквивалентны.

Доказательство

Пусть a – предел функции f по опр (2). Это значит, что , тогда , т.е. , при =>

Аналогично из (1) → (2)

Доказано

Теорема

Пусть , где a и b – конечные числа, тогда:

1. 

2. 

3. 

4. 

Без доказательства

§5 Понятие непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций.

Пусть

Опр Говорят, что функция f непрерывна в точке

Опр Говорят, что функция f непрерывна в точке , если (2)

Опр Говорят, что функция f непрерывна в точке (3)

Теорема

Определения (1), (2), (3) эквивалентны.

Без доказательства

Опр Говорят, что функция f непрерывна на , если она непрерывна в каждой точке множества .

Теорема

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на :

1. 

2. 

3. 

4. 

Без доказательства

Теорема

Пусть выполнено условие:

1. 

2. 

3. 

тогда сложная функция - непрерывна в точке .

Без доказательства

§6 Свойства непрерывных функций, заданных на замкнутой ограниченной области. Теоремы Вейерштрасса, Коши, Кантора

Опр Функция f называется ограниченной на , если

Теорема Вейерштрасса 1

Если функция f непрерывна на замкнутой ограниченной области, то функция будет ограничена.

Доказательство

Пусть – замкнутая ограниченная область. Функция f непрерывна на .

Предположим, что функция f неограниченна.

Это значит, что :

• Для числа 1 ;

• Для числа 2 ;

• Для числа n ;

Итак, построена последовательность и ;

- ограничена => - ограничена, тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

и так как область замкнутая, то

Однако функция принимает конечные значения, получаем противоречие => утверждение, что f неограниченна – неверно.

Теорема доказана.

Теорема Вейерштрасса 2

Если функция f непрерывна на , то она достигает на нем своей верхней и нижней грани

Доказательство

=>

Рассмотрим функцию

Так как знаменатель не обращается в ноль, то ,

по предыдущей теореме: ,

число оказывается верхней границей для f, чего быть не может, ибо M – наименьшая из верхних границ. Получаем противоречие => предположение, что не точек, где достигается sup, неверно.

Теорема доказана.

Теорема Коши

Пусть:

1. 

2. 

Тогда:

Доказательство

Рассмотрим

Соединим эти точки непрерывной кривой, полностью лежащей на , пусть кривая:

,

f

f

f(A)*f(B)<0

тогда (см. 1 семестр)

Итак, точка C=

Теорема доказана.

Опр Говорят, что функция f(x) равномерно непрерывна на D(f), если

Теорема Кантора

Если функция f непрерывна на ограниченной замкнутой D(f), необходимо и достаточно для равномерной непрерывности непрерывность функции f  Для того, чтобы f(x) была равномерно непрерывна на D(f) необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна.