1.1 Алгоритм виконання завдання № 1

1 За заданими координатами x, y, z чотирьох точок S, A, B, C будують дві проекції кожної з них: горизонтальну і фронтальну.

1.1 Щоб це виконати, необхідно на форматі А3 паралельно до сторони з розміром 420 мм побудувати горизонтальну вісь координат x₁₂, відмітити на ній точку О – початок осі координат і задати ліворуч від точки О позитивний напрям осі x₁₂ .

1.2 Уздовж осі координат x₁₂ від точки О відкласти координати x кожної з чотирьох точок, а потім з отриманих координатних точок:

 перпендикулярно вниз – відкласти координати y цих точок; це і будуть горизонтальні проекції S₁, A₁, B₁, C₁ заданих точок S, A, B, C ;

 перпендикулярно наверх – відкласти координати z цих точок; це і будуть фронтальні проекції S₂, A₂, B₂, C₂ заданих точок S, A, B, C .

2 Сполучаючи на кожній з двох площин проекцій П₁ і П₂ однойменні проекції чотирьох точок S, A, B, C між собою прямими лініями, отримаємо дві проекції тригранної піраміди. Визначити видимість проекцій ребер піраміди на П₂. На П₁ з вершини піраміди S всі ребра будуть видимі.

3 Визначити, які положення у просторі займають ребра і грані побудованої піраміди. Відповіді записати на вільному місці креслення у вигляді таблиці, що наведена на рисунку 1.1.

4 Способом прямокутного трикутника на вільному місці креслення визначити дійсну величину ребер піраміди, що займають загальні положення. Дійсна величина ребер необхідна для побудови розгортки поверхні піраміди.

Для цього на вільному місці креслення (щоб зберегти виразність креслення піраміди) будують дві взаємно перпендикулярні прямі і на горизонтальній прямій відкладають величини горизонтальних проекцій ребер, а саме: S₁A₁, S₁B₁, S₁C₁, а на вертикальній прямій – різницю відстаней кінців ребер до горизонтальної площини П₁ – тобто .

Сполучивши зазначені точки на взаємно перпендикулярних прямих, отримаємо гіпотенузу прямокутного трикутника, що за величиною визначатиме дійсну величину ребра піраміди.

5 За побудованими двома проекціями піраміди – горизонтальною на П₁ і фронтальною на П₂ необхідно побудувати третю проекцію, профільну на П₃.

Для цього ліворуч від горизонтальної проекції піраміди проводимо допоміжну пряму під кутом 45 до горизонтальної прямої креслення – так звану постійну креслення (суцільну тонку лінію).

Через фронтальні проекції точок S₂, A₂, B₂, C₂ проводимо лінії горизонтального проекційного зв’язку, а через горизонтальні проекції точок S₁, A₁, B₁, C₁ – горизонтально-вертикальні лінії проекційного зв’язку, що змінюють напрям на постійній креслення.

6 Для побудови прямокутної диметричної проекції піраміди необхідно спочатку провести на кресленні аксонометричні диметричні осі x, y, z (рисунок 1.2).

У прямокутній диметричній проекції вісь x з горизонтальною прямою складає кут 710 або ухил 1 : 8. Для його побудови уздовж горизонтальної прямої відкладають відрізок |ОА| = 8 одиниць, а перпендикулярного до нього |АВ| = 1 одиниці. Сполучивши точки О і В, отримують аксонометричну вісь x (рисунок 1.2).

Вісь у з горизонтальною прямою складає кут 4125 або ухил 7 : 8. Побудова аксонометричної осі y показана на рисунку 1.2.

Приведені показники спотворення по аксонометричним диметричним осям такі: к_х = к_z = 1, к_у = 0,5.

Рисунок 1.2  Осі у прямокутній диметричній проекції

Схема побудови ізометричної проекції однієї точки наведена на рисунку 1.3. В прямокутній ізометрії кути між аксонометричними осями дорівнюють 120, а приведені показники спотворення по всім трьом аксонометричним осям однакові і дорівнюють 1.

Рисунок 1.3  Схема побудови аксонометрії точки у прямокутній ізометрії

Рисунок 1.4 – Побудова ортогональної диметричної проекції

квадрата зі стороною а

квадрат розташований: а) у горизонтальній площині; б) у фронтальній площині; в) у профільній площині

При побудові ортогональної диметричної проекції предмета (рису- нок 1.4) по осі y відкладають половину справжнього розміру (рису- нок 1.4,а, в).

Приклад побудови ортогональної диметричної проекції п’ятигранної призми наведений на рисунку 1.5.

Рисунок 1.5 – Побудова ортогональної диметричної проекції п’ятигранної призми

а) креслення призми з 2-х проекцій; б) осі ортогональної диметричної проекції на відстані довжини призми; в) диметричні проекції основ призми; г) ортогональна диметрія призми

Алгоритм побудови прямокутної диметричної проекції піраміди складається з наступних кроків (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6  Побудова прямокутної диметричної проекції піраміди

1) Будують аксонометричні осі Оxyz ортогональної диметрії.

2) У горизонтальній площині, що визначається аксонометричними осями Оxy , будують диметричну проекцію основи піраміди – трикутник АВС.

Для цього уздовж аксонометричної осі y відкладають відрізки: ОС = 0,5 О₁С₁ і О1 = 0,5О₁1₁.

А потім 1А = 1₁А₁ і 1В = 1₁В₁.

Отримані точки А, В, С сполучаємо між собою. Відклавши уздовж аксонометричної осі z від точки О висоту піраміди, тобто відрізок S₂C₂ , отримуємо вершину піраміди S, яку сполучаємо з вершинами основи АВС,  і диметрична проекція піраміди побудована.

Встановлюють видимість ребер на аксонометричній диметричній проекції піраміди.

7 Побудова розгортки піраміди. Для побудови розгортки піраміди всі необхідні дані вже визначені. Ребра основи піраміди зображені на площині проекцій П₁ без спотворень, в натуральну величину, бо основа піраміди займає горизонтальну площину. Натуральна величина бічних ребер визначена вище за допомогою способу прямокутного трикутника. А якщо одне з ребер піраміди  профільне, то при побудові третьої (профільної) проекції піраміди на площині П₃ це ребро проекцюється без спотворення, тобто у дійсну величину. Слід цим скористатися для перевірки точності графічних побудов при визначенні натуральної величини ребер піраміди.

Для побудови розгортки піраміди (рисунок 1.8) з довільної точки S радіусом, що дорівнює натуральній величині бічного ребра, проводять дугу кола, на якій засікають три хорди, що відповідно дорівнюють розмірам сторін основи піраміди, наприклад, АС = А₁С₁; СВ = С₁В₁; ВА = В₁А₁.

Сполучаючи точки S, A, C, B, A, S, дістають розгортку бічної поверхні піраміди. Добудовують трикутник основи піраміди. Лінії згину на розгортці виконують штрих-пунктирною з двома крапками.

Виходячи з того, що розгортка піраміди не уміщується на форматі А3, де наведене креслення піраміди разом з ортогональною диметричною аксонометрією, її виконують на другому аркуші формату А4, тому на ньому виконують основний напис за формою 2,а, тобто 15 х 185 мм.

Зразок виконання завдання наведений на рисунках 1.7 і 1.8.

Рисунок 1.7 – Зразок виконання завдання № 1 (аркуш № 1)

Рисунок 1.8 - Аркуш 2 до виконання завдання № 1

Завдання № 2: Метрична задача - побудова горизонталі і фронталі у площині трикутника ВСD

Вихідні дані до завдання

На папері формату А4 побудувати пряму, що паралельна до площини трикутника BCD (таблиця 2.1) і віддалена від цієї площини на 50 мм.

Таблиця 2.1 - Координати точок в мм вершин трикутника ВСD

Варіант	Координати х, у, z точки			Варіант	Координати х, у, z точки
	В	С	D		В	С	D
01	80,40,0	0,65,20	30,0,40	17	70,10,20	50,45,50	0,25,10
02	70,20,5	35,60,55	0,0,25	18	65,10,20	20,20,5	0,65,45
03	80,10,20	45,70,0	0,40,40	19	80,0,40	0,20,70	30,45,0
04	65,55,20	20,5,5	0,20,50	20	60,25,60	25,10,5	5,55,40
05	65,0,20	40,50,0	0,20,40	21	75,5,25	35,55,65	0,30,0
06	60,30,60	40,50,10	5,20,25	22	65,30,45	20,5,5	0,70,25
07	60,45,25	35,10,50	5,30,10	23	65,15,0	40,0,55	0,40,20
08	75,25,10	35,5,50	10,60,20	24	70,60,15	50,5,55	0,25,0
09	70,25,10	45,0,65	0,40,40	25	60,65,20	45,20,50	5,10,10
10	70,0,20	30,45,5	5,10,65	26	65,65,5	45,15,55	0,5,20
11	60,15,10	15,0,20	0,50,55	27	65,25,0	40,5,55	0,50,30
12	65,15,60	40,55,15	5,15,35	28	70,60,35	40,0,55	0,30,0
13	65,10,60	45,55,15	0,15,5	29	70,0,60	45,50,20	0,20,10
14	65,5,20	35,50,5	0,15,50	30	60,20,65	45,50,20	5,10,10
15	70,45,60	40,55,0	0,10,45	31	80,40,0	0,65,20	30,0,40
16	70,5,20	25,55,50	0,25,10	32	70,20,5	35,60,55	0,0,25

Зразок виконання завдання наведений на рисунку 2.3.

Умова задачі у символічному запису має наступний вигляд:

l  T ( BCD)  l T  = 50 мм.

Відомо, що відстань між геометричними фігурами вимірюють у напрямку, що перпендикулярний до них. Звідси визначимо алгоритм розв’язування задачі.

1) З будь-якої точки площини Т, що задана трикутником BCD, проводять пряму, перпендикулярну до площини.

Щоб виконати графічні побудови на епюрі, треба скористатися теоремою нарисної геометрії про перпендикулярність прямої до площини, а саме:

Якщо пряма l перпендикулярна до площини, то її горизонтальна проекція l₁ перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі площини (l₁  h₁), а її фронтальна проекція l₂ перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі площини (l₂  f₂).

1.1 За цією теоремою виходить, що у площині, що задана трикутником BCD, необхідно перш за все провести горизонталь і фронталь (рисунок 2.1).

На епюрі для побудови проекцій кожної із зазначених прямих необхідно виконати по 4 графічних операції (рисунок 2.1).

Будуємо проекції горизонталі площини.

1) Через точку D₂ проводимо фронтальну проекцію горизонталі h₂ паралельно до осі x₁₂:

D₂  h₂  x₁₂ ;

2) Будуємо точку 1₂ перетину прямих h₂ і (В₂С₂).

3) За лінією вертикального проекційного зв’язку на прямій (В₁С₁) будуємо точку 1₁.

4) Сполучаємо дві точки D₁ і 1₁ і отримуємо горизонтальну проекцію горизонталі h₁ .

Аналогічно будуємо проекції фронталі площини, тільки перший крок виконуємо на горизонтальній площині проекцій П₁ (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Побудова горизонталі і фронталі у площині трикутника ВСD

1.2 Використовуючи вищенаведену теорему нарисної геометрії про перпендикулярність прямої до площини, будуємо на епюрі проекції цієї прямої l, що проходить через точку К перетину горизонталі і фронталі (рисунок 3.2):

1.2.1) через К₁ проводимо l₁ перпендикулярно до h₁ і вибираємо на неї довільну точку 3₁;

1.2.2) через К₂ проводимо l₂ перпендикулярно до f₂ і за лінією вертикального проекційного зв’язку визначаємо на неї фронтальну проекцію 3₂ довільної точки 3.

Рисунок 2.2 – Приклад розв’язання поставленої задачі

Таким чином, побудований відрізок [К3], що визначає певну відстань від площини трикутника BCD, але не задану відстань 50 мм.

2 Щоб мати змогу на цьому відрізку відкласти величину у 50 мм, необхідно за допомогою способу прямокутного трикутника визначити дійсну величину побудованого відрізка [К3].

На фронтальній проекції [К₂3₂] відрізка [К3] будуємо прямокутний трикутник, на другому катеті якого відкладаємо різницю відстаней кінців зазначеного відрізка до площини П₂ , тобто y , і на побудованій гіпотенузі прямокутного трикутника від точки К₂ відкладаємо задану величину відстані від площини : | K₂E₀ | = 50 мм, після чого знаходимо його величину у проекції на П₂  відрізок [K₂E₂], провівши перпендикулярну пряму до [К₂3₂] , а потім за лінією вертикального проекційного зв’язку і горизонтальну проекцію цього відрізка [К₁Е₁] .

3 Через точку Е(Е₁, Е₂), що віддалена від площини трикутника BCD на задану відстань, проводимо пряму, паралельну до площини трикутника.

При цьому використовуються наступні теоретичні відомості.

Пряма паралельна до площини, якщо вона паралельна до будь-якої прямої, що належить до цієї площини.

Якщо дві прямі паралельні між собою, то їх однойменні проекції також паралельні між собою.

Якщо точка належить до прямої, то її проекції належать до однойменних проекцій цієї прямої.

На рисунку 2.2 через точку Е проведена пряма l паралельна до сторони (BD) площини трикутника BCD.

Рисунок 2.3 – Зразок виконання завдання № 2

Завдання № 3. Способи перетворення епюру

Вихідні дані до завдання

На папері формату А4 визначити дійсну величину трикутника DEF способом заміни площин проекцій (таблиця 3.1).

Таблиця 3.1 - Координати точок в мм вершин трикутника DEF

Варіант	Координати х,у,z точки			Варіант	Координати х,у,z точки
	D	E	F		D	E	F
01	95,10,50	50,60,10	20,10,60	17	70,45,60	40,55,0	0,10,45
02	95,20,10	50,10,60	20,60.10	18	65,0,20	40,55,5	0,5,50
03	90,50,40	65,10,60	5,30,10	19	60,10,60	45,55,15	0,25,5
04	65,10,20	10,20,0	0,60,60	20	60,20,65	45,50,20	5,10,10
05	90,20,20	30,10,60	10,50,0	21	65,0,15	40,55,0	0,20,40
06	90,20,60	10,10,40	50,50,0	22	60,30,65	45,60,10	5,20,10
07	90,30,10	30,60,60	10,10,10	23	75,0,25	30,50,5	10,20,60
08	60,65,30	45,10,60	5,10,20	24	80,10,20	45,70,0	0,40,45
09	90,20,40	20,10,60	40,60,30	25	65,55,20	25,5,5	0,25,50
10	90,30,60	10,10,60	40,60,10	26	75,25,5	35,65,55	0,0,25
11	95,10,10	10,50,60	10,10,10	27	80,40,0	0,70,20	30,0,45
12	75,5,25	35,55,65	0,25,0	28	70,60,45	40,0,55	0,45,10
13	80,0,40	0,20,70	30,45,0	29	90,60,30	10,60,10	40,10,60
14	65,15,0	40,0,55	0,40,20	30	75,25,0	30,5,50	10,60,20
15	65,20,10	10,0,20	0,60,60	31	65,10,20	10,20,0	0,60,60
16	70,60,0	45,10,50	0,10,20	32	90,40,50	65,60,10	5,10,30

Зразок виконання завдання наведений на рисунку 3.2.