Свойства функции корреляции

Рассмотрим основные свойства функции корреляции R_(t₁,t₂) случайного процесса (t).

1. Функция корреляции является симметрической функцией своих аргументов, т.е. при перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется:

,

Для стационарных процессов функция корреляции – чётная функция

.

2. Для корреляционной функции выполняется неравенство:

.

Для стационарных случайных процессов это неравенство означает, что в нуле функция корреляции достигает наибольшего значения.

3. Если случайный процесс задан соотношением где - неслучайная функция, - случайный процесс, то

4. Если случайный процесс задан соотношением т.е. является суммой двух случайных процессов, тогда его корреляционная функция равна сумме корреляционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции , которая прибавляется дважды с разным порядком следования аргументов:

,

5. Если случайный процесс задан соотношением , то

где и - неслучайные функции.

6. Если для стационарного случайного процесса при  случайные величины (t) и (t+) стохастически независимы, то

.

Тогда среднее значение процесса можно выразить через его функцию корреляции

.

Далее, используя определение дисперсии процесса, запишем

.

Таким образом, среднее значение и дисперсию стационарного случайного процесса можно найти, если известна его функция корреляции.

7. Функция корреляции случайного процесса является положительно определённой,

то есть для n произвольных действительных чисел ₁,₂,…,_n, выполняется неравенство

.

8. Корреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме корреляционных функций слагаемых плюс сумма всех взаимных корреляционных функций этих слагаемых.

Это означает, что для

.

Для некоррелированных слагаемых с нулевыми средними значениями имеем

.

Свойства функции ковариации

1. При перестановке аргументов ковариационная функция не изменяется (свойство симметрии):

;

2. Прибавление к случайному процессу неслучайного слагаемого не изменяет его ковариационной функции:

Если , то ;

3. При умножении случайной функции на неслучайный множитель ее ковариационная функция умножается на произведение :

Если , то

4. Абсолютное значение ковариационной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений:

;

5. Функция ковариации случайного процесса является положительно определённой,

Где - произвольная функция аргумента , - произвольное подмножество множества , на котором определен случайный процесс

Пример 3.7. Пусть случайный процесс tT, где Y_i –некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями m_i и дисперсиями D_i, а _i(t) – заданные на T детерминированные функции. Найти m_(t), D_(t) и R_(t,s).

Решение. Согласно определениям имеем

,

,

,

.

Задачи по теме для самостоятельного решения

1. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию случайного процесса ; где - случайная величина, .

2. Найти нормированную взаимную ковариационную функцию случайных процессов и ; где - случайная величина, .

3. Известны математические ожидания и ковариационные функции некоррелированных случайных процессов . Найти математическое ожидание, ковариационную функцию случайного процесса .

4. Найти математическое ожидание , ковариационную функцию , дисперсию случайного процесса , где - некоррелированные случайные величины, .

5. Заданы случайные функции , где - некоррелированные случайные величины, . Найти нормированную взаимную ковариационную функцию.

6. Найти математическое ожидание , ковариационную функцию , дисперсию случайного процесса , где - некоррелированные случайные величины, .

7. Найти ковариационную функцию и дисперсию , если - некоррелированные случайные процессы, , и даны ковариационные функции .

8. - центрированные случайные процессы; Найти математическое ожидание , ковариационную функцию , дисперсию , нормированную ковариационную функцию случайного процесса .