3.2 Властивості векторних полів (соленоїдальність, потенціальність та безвихорність)

• Означення 1. Векторне поле називається соленоїдальним в області D, якщо у будь-якій точці цієї області дивергенція векторного поля дорівнює 0, тобто якщо

(11)

Наприклад, поле електростатичної індукції є соленоїдальним в області, яка не містить зарядів, оскільки , де - об’ємна щільність електричного заряду, яка дорівнює 0 там, де заряду немає.

Поле магнітної напруженості, яке утворюється постійним струмом, є соленоїдальним в усьому просторі, оскільки .

Якщо в деякій області D поле соленоїдальне, то в цій області відсутні джерела поля.

• Означення 2. Векторне поле називається потенціальним в області D, якщо існує така скалярна функція, що вектор можна представити у вигляді градієнта цієї функції. Якщо цю скалярну функцію позначити через (-U(M)), знак мінус обирають із фізичних міркувань, то

, МD. (12)

Функція U(M) називається потенціалом векторного поля .

Потенціал векторного поля визначають з точністю до сталої С, оскільки

grad (U+C) = grad (U).

Ця властивість дозволяє зробити потенціал рівним 0 у будь-якій заданій точці. Найчастіше значення потенціалу приймається рівним нулю на .

Відмітимо, що різниця значень потенціалу у двох точках вже не залежить від сталої С, оскільки в різниці сталі взаємно знищуються.

Векторне поле може бути заданим за допомогою тьрох скалярних функцій, які є проекціями вектора на декартові осі координат.

Якщо векторне поле потенціальне, то його можна задати однією скалярною функцією-потенціалом цього поля.

Криволінійний інтеграл по дузі АВ потенціального поля не залежить від шляху інтегрування.

• Означення 3. Векторне поле називається безвихорним в області D, якщо у будь-якій точці цієї області вихор векторного поля дорівнює 0, тобто

rot , МD. (13)

Наприклад, поле електричної напруженості, яке утворюється точковим зарядом, є безвихорним у будь-якій області.

Поняття безвихорності та потенціальності поля є еквівалентними.

Дійсно, якщо поле є потенціальним, то

rot = -rot gradU(M) = 0,

тобто поле буде і безвихорним.

Навпаки, якщо поле є безвихорним, то

rot = 0.

Звідси випливає, що координати вектора rot дорівнюють нулю, тобто

Ці рівності дозволяють довести, що функція

(14)

є потенціалом векторного поля , оскільки

-gradU =

- довільна точка з області неперервності координат .

3.3 Формули Остроградського-Гаусса, Стокса та Гріна

Сумарна потужність джерел векторного поля усередині замкненої поверхні S дорівнює потоку векторного поля через цю поверхню:

З іншої сторони, оскільки - це щільність потужності джерел векторного поля, то сумарна потужність джерел в області V, яку обмежує поверхня S, буде дорівнювати потрійнолму інтервалові

Отже, одержали формулу

(15)

яку називають формулою Остроградського-Гаусса.

Рівність (15) у скалярній формі має вигляд:

. (16)

Відмітимо, що знаходження потока поля з використанням формули Остроградського-Гаусса значно спрощується.

• Приклад. Обчислити потік поля через поверхню кулі одиничного радіуса з центром в початку координат.

Розв’язання. Шуканий потік П заданого поля будемо обчислювати з використанням формули Остроградського-Гаусса.

Позначимо через V задану в умові кулю, а S – поверхню кулі.

Тоді

В заданому випадку

тому

Згідно з геометричним змістом інтегралів по області останній інтеграл дорівнює об’єму заданої кулі

Отже, шуканим потоком буде: