Математическое описание электропривода в проекциях векторов Электромагнитный момент асинхронного двигателя [л.1:2.1;2.2]

Рассмотренные описания процессов еще недостаточны для получения полной математической модели двигателя, т.к. они не касаются процесса преобразования электрической энергии в механическую. Главной величиной, характеризующей этот процесс, является электромагнитный момент, возникающий в результате взаимодействия токов в обмотке статора и магнитного поля, в котором они находятся.

Выражения, описывающие электромагнитные переменные в пространственных векторах, вращающихся синхронно с вращающейся системой координат следующие:

Принципиальным отличием этих выражений от рассмотренных в первом разделе является то, что это дифференциальные уравнения, т.е. рассматривается не только статика, но и динамика электропривода. Они могут быть использованы для представления математического описания всего электропривода в виде структурных схем, если к ним добавить уравнение движения и равенство, связывающее угловую частоту напряжения питания со скоростью двигателя и угловой частотой роторной ЭДС:

Для представления математического описания элек-тропривода с асинхронным двигателем в виде структур-ных схем необходимо выражать все переменные, включая и электромагнитный момент, через проекции их пространственных векторов во вращающейся системе координат.

Сначала рассмотрим вращающуюся систему с произвольной ориентацией координат α – β. Пространственные векторы, входящие в эти уравнения вращаются вместе с системой координат α – β в плоскости, перпендикулярной оси двигателя. Если ее рассматривать как комплексную, то каждый вектор может быть представлен комплексным числом:

Правые части этих равенств представляют собой проекции векторов на оси вращающейся системы координат. Поскольку векторы и оси координат вращаются в электрическом пространстве с одинаковой скоростью, то в стационарном режиме эти проекции представляют собой постоянные действительные числа.

Порядок перехода от записи уравнений в пространственных векторах к записи его в проекциях на оси покажем на примере первого уравнения системы в координатной плоскости α – β. Для этого запишем входящие в него векторы в виде комплексных чисел:

П осле разделения вещественных и мнимых частей получаются два равенства:

Эта форма записи широко используется для составления структурных схем, в которых переменными выступают проекции векторов на оси вращающейся системы координат, являющихся основой векторного управления.

Для представления математического описания электромагнитного момента требуются некоторые пояснения. Электромагнитный момент двигателя является результатом взаимодействия магнитных систем статора и ротора, и может быть представлен векторным произведением потокосцеплений статора и ротора. Учитывая то, что потокосцепления создаются токами соответствующих обмоток, его можно так же представить векторным произведением токов статора и ротора или комбинацией токов и потокосцеплений. С другой стороны, момент – не векторная величина, поэтому его при векторном описании следует выражать через проекции векторов потокосцеплений или токов. Таким образом, можно получить ряд выражений, устанавливающих связь момента с проекциями векторов токов и потокосцеплений статора и ротора:

В этих выражениях коэффициент 3/2 означает то, что момент создается тремя фазами, а коэффициент 2 в знаменателе отражает переход от модулей (амплитуд) векторов к их действующим значениям. Выбор того или иного описания момента определяется предполагаемым способом построения системы управления.

Структурная схема при произвольной ориентации вращающейся системы координат [Л.1:2.3]

Исходными для составления структурной схемы являются уравнения электропривода в проекциях на оси вращающейся системы координат α и β:

где Т₁ и Т₂ - постоянные времени обмоток статора и ротора.

Значения модулей векторов тока и потока статора можно рассчитать по формулам:

; .

Структурная схема, соответствующая этим выражениям, представлена на рис.4.

Рис.4. Структурная схема при произвольной ориентации системы координат.

В ней можно выделить блок формирования электромагнитного момента, входными воздействиями для которого являются проекции вектора напряжения статора и , а также частота напряжения статора . Выходной величиной является момент двигателя М_д. Второй - блок, описывающий механическую часть электропривода. Его выходная величина – скорость двигателя .

Схема описывает процессы, происходящие в асинхронном двигателе, в котором действуют переменные величины синусоидальной формы. Однако, благодаря

описанию их пространственными векторами, вращающимися вместе с системой координат, все переменные и входные воздействия в блоке формирования момента представляют собой сигналы постоянного тока. Эти сигналы остаются неизменными в установившихся режимах и изменяются только при переходных процессах.

Блок формирования момента включает в себя апериодические звенья, попарно охваченные положительными обратными связями и четыре перекрестные связи, что предопределяет колебательный характер изменения момента и тока статора.

Рассмотренная структурная схема из-за своей сложности не нашла практического применения, но она полезна для получения представления о характере внутренних связей и структуре двигателя как объекта управления.

Сделать структурную схему более простой

можно, если систему координат ориентировать по вектору какой-либо переменной. Например, при регулировании скорости кроме задания по скорости необходимо задавать также модуль и фазу напряжения статора, чтобы сформировать управляющие воздействия и . Если же можно задавать только модуль напряжения U₁, то ось вращающейся системы α следует направить по этому вектору (рис.5). При этом U₁ = , а = 0, чему Рис.5. Проекции вектора U₁ на оси

соответствует равенство углов θ и θ_С при θ₁ = θ. вращающейся системы координат