1.2. Множество действительных чисел как подмножество комплексных.

Рассмотрим в С подмножество R_C чисел вида a+0i, где aR: R_C={a+0i|aR}. Так как

(a+0i)+(b+ci)=(a+b)+(0+ci)=(a+b)+ci,

(a+0i)(b+ci)=(ab0c)+(ac+0b)i=ab+aci,

то, формально вынося в последнем равенстве за скобки множитель a, получаем (a+0i)(b+ci)=a(b+ci) и в случае b+ci0_С, получаем a+0i=a. Поэтому комплексное число a+0i и действительное число a принято отождествлять: a+0i=a. Таким образом, множество действительных чисел R считается подмножеством множества комплексных чисел С: RC. В частности, 0_С=0, 1_С=1 и в дальнейшем в обозначениях 0_С и 1_С индекс С будем опускать.

Кроме того, числа вида 0+bi обозначают просто через bi. Наконец, в числах вида a+1i единицу 1 не пишут: a+1i=a+i.

Найдём, чему равен i²: i²=(0+i)²=(0+i)(0+i)=(01)+(0+0)i=1, то есть

Таким образом, в частности, i⁴= 1.

Наконец, рассматривая число a+bi как сумму (a+0i)+(0+bi), его можно возводить в произвольную натуральную степень n по формуле бинома Ньютона:

(a+bi)ⁿ= ,

в частности,

(a+bi)²=a²+2abi+(bi)²=a²+2abib²=(a²b²)+2abi,

(abi)²=a²2abi+(bi)²=a²2abib²=(a²b²)2abi,

(a+bi)³=a³+3a²(bi)+3a(bi)²+(bi)³=a³+3a²bi3ab²b³i=(a³3ab²)+(3a²bb³)i,

(a+bi)³=(a³3ab²)(3a²b+b³)i.

Например, при решении упражнения 1.1.4.г) и можно найти по этим формулам:

(2+i)³=2³+32²i+32i²+i³=8+12i6i=2+11i,

(2i)³=2³32²i+32i²i³=812i6+i=211i.

1.2.2. Упражнение. Вычислить:

а) i⁵⁵; б) i ; в) i⁸⁸; г) iⁿ; д) (1+i)⁸ⁿ; е) (1+i)⁴ⁿ; ж) (1i)⁸ⁿ; з) (1i)⁴ⁿ, nZ.

Решение. б) По свойствам степени с целым показателем имеем i =(i⁶⁵) . Найдём отдельно i⁶⁵. Так как 65=416+1, то

i⁶⁵=i ^416+1 =(i ⁴)¹⁶i =1i = i.

Поэтому

i = i = i  i ⁴ = i ³ =  i.

д) Имеем

(1+i)²= 1²+2i +i ²=1+2i 1=2i .

Поэтому

(1+i)⁸ⁿ=((1+i)²)⁴ⁿ=(2i)⁴ⁿ=((2i)⁴)ⁿ=(2⁴i ⁴)ⁿ=16ⁿ.

1.3. Комплексно сопряжённые числа и их свойства.

1.3.1. Определение. Комплексное число abi называется комплексно сопряжённым к комплексному числу a+bi.

Число, комплексно сопряжённое к числу  обозначается через . Таким образом, = abi.

1.3.2. Теорема. Комплексно сопряжённые числа обладают следующими свойствами:

1) =;

2) = + ;

3) = ;

4) = ;

5) = тогда и только тогда, когда R;

6) Если =a+bi, то  + =2a,   =2bi и  =a²+b². В частности, + R и  R;

7) Для любых комплексных чисел ₁, ₂, …, _k имеют место равенства = + +…+ и = … .

В частности, для любых kZ и любого комплексного числа 

= k и = .

8) Для любых комплексных чисел  и =c+di

= .

1.3.3. Упражнение. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение. б) По предыдущей теореме (1.3.2, 8)) имеем

= = =  .

г) Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателя:

= = = =8.

§2. Геометрия комплексных чисел.

2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Пусть =a+bi  произвольное комплексное число. Тогда в декартовой системе координат существует единственная точка с координатами (a; b) и, обратно, произвольной точке (a; b) в декартовой системе координат соответствует единственное комплексное число  такое, что Re=a и Im=b. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел C существует взаимно однозначное соответствие  такое, что (a+bi)=(a; b). Поэтому комплексные числа можно изображать точками плоскости. Эту плоскость называют комплексной.

П усть M(a; b)  точка комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу a+bi. Тогда можно рассматривать вектор с координатами (a; b) (рис. 1) Вектор называется векторным представлением числа a+bi. Длина | | вектора называется модулем комплексного числа =a+bi, а угол  между вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа 0. Для нуля модуль не определён. Модуль числа  обозначается через ||, а его аргумент  через Аrg. Очевидно, Аrg определён с точностью до кратных угла 2, то есть, если   угол наклона к оси Ox, то Аrg=+2k, kZ. Если =Аrg(, ], то  называется главным значением аргумента и обозначается через arg. Таким образом, Аrg=arg +2k, kZ, arg(, ].

2.1.1. Упражнение. Построить точки, изображающие комплексные числа 1, 1, i,  i, 1+ i, 1 i, 2+3i, 23i.

2.1.2. Упражнение. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям:

а) |z|=2; б) |z(2+3i)|=1; в) |z+1+i|=2; г) |zi|2;

д) |z+(23i)|2; е) |z1i|<3; ж) 2<|z|<4; з) 1|z+2i|<3;

и) |z2|+|z+2|=5; к) |z+1|+|z1|=4; л) |z+2||z2|=3; м) |z+1||z1|=4;

н) argz= ; о) argz= ; п) |Rez|1; р) |Imz|=2;

с) |Rez|<2; т) |Imz|3.

Решение. б) Пусть z=x+yi, где x=Rez и y=Imz. Тогда z(2+3i)=(x2)+(y3)i и |z(2+3i)|= . Поэтому |z(2+3i)|=1  =1  =1. Получили уравнение окружности с центром (2; 3) и радиусом R=1. Следовательно, множество точек, соответствующее комплексным числам z, удовлетворяющим заданному условию  окружность с центром (2; 3) радиуса R=1 (рис. 2).

в) Аналогично предыдущему, если z=x+yi, то |zi|= и |zi|2  2  4  круг с центром (0; 1) радиуса 2 (рис. 3).

2 .2. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Пусть =a+bi и =c+di  произвольные комплексные числа. Тогда их сумма +=(a+c)+(b+d)i изображается вектором с координатами (a+c, b+d), то есть при сложении комплексных чисел они складываются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел (рис. 4).

Аналогично, =(ac)+(bd)i изображается вектором с координатами (ac, bd), и при вычитании комплексных чисел они вычитаются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел.

Отсюда вытекают следующие свойства модулей комплексных чисел:

|||||+|||+||, (2.2.1)

||||||||+||, (2.2.2)

||=||.

2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть =a+bi  комплексное число с модулем r=|| и аргументом Arg. Тогда из геометрических соображений имеем a=rcos и b=rsin, откуда

a+bi=r(cos+isin). (2.3.1)

Правая часть полученного равенства (2.3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа a+bi.

Таким образом, для нахождения тригонометрической формы комплексного числа a+bi достаточно найти модуль r по формуле

r= (2.3.2)

и аргумент Arg= из системы уравнений

(2.3.3)

При этом в качестве аргумента Arg берётся, как правило, главное значение arg(, ].

2.3.1. Упражнение. Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) 1; б) 4; в) i; г) 2i; д) 1+i; е) 1i;

ж) 3+3i; з) 1+ i; и) i; к) 1 i.

Решение. б) Комплексное число 4 представляется вектором с координатами (4; 0). Поэтому |4|=4 и arg(4)=. Следовательно, 4=4(cos+isin)  тригонометрическая форма числа 4.

з) Имеем a=1 и b= . Поэтому |1+ i|= =2. Далее, cos= и sin= , откуда =arg(1+ i)= и 1+ i=2(cos +isin ).

Ответ: б) 4=4(cos+isin);

з) 1+ i=2(cos +isin ).

2.3.2. Теорема. Пусть комплексные числа  и =a+bi записаны в тригонометрической форме: =r₁(cos₁+isin₁), =r₂(cos₂+isin₂). Тогда

=r₁r₂[cos(₁+₂)+isin(₁+₂)], (2.3.4)

= [cos(₁₂)+isin(₁₂)]. (2.3.5)

Допуская вольность речи, эту теорему формулируют следующим образом: при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении  модули делятся, аргументы вычитаются.

2.3.4. Следствие. Если =r(cos+isin), то для любого целого числа n имеет место равенство

ⁿ=r ⁿ(cos n+i sin n). (2.3.6)

Формула (2.3.6) носит название формулы Муавра.

2.3.5. Упражнение. Найти значения выражений:

а) (1+i)²⁰; б) (1i)¹⁰⁰; в) (1+ i)³⁰⁰; г) ; д) ; е) + .

Решение. а) Представим 1+i в тригонометрической форме: 1+i= (cos +isin ). Теперь, по формуле Муавра (2.3.6) получаем

(1+i)²⁰=( (cos +isin ))²⁰=( )²⁰(cos 20 +isin 20 )=

=2¹⁰(cos 5+i sin 5)=2¹⁰(cos +i sin )= 2¹⁰.

г) Представим в тригонометрической форме. Имеем 1+ i=2(cos +isin ) (см. предыдущее упражнение) и 1i= (cos +isin ). Поэтому

=

(cos +isin )= (cos +isin ).

Теперь по формуле Муавра получаем

=( )¹⁵(cos 15 +i sin 15 )= (cos +i sin )=

= (cos +i sin )= (cos +i sin )=

= ( + i)=  (1+i)=2⁷(1+i).

(1) Применяем формулу (2.3.5)

Ответ: а) 2¹⁰; б) 2⁷(1+i).