1.2. Критерий Коши и необходимый признак сходимости числовых рядов
Точное
вычисление суммы числового ряда
возможно только лишь в редких случаях.
Поэтому за приближенное значение
суммы ряда принимается величина n-й
частичной его суммы, то есть
,
с последующей оценкой погрешности.
При этом, однако, предварительно
следует исследовать сходимость ряда,
поскольку отыскание суммы расходящегося
ряда теряет смысл.
Общий
признак сходимости числового ряда
устанавливается критерием Коши:
для того, чтобы числовой ряд (1.1) был
сходящимся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого положительного
числа
существовал такой номер
,
зависящий от
,
что при
и любом целом
выполнялось неравенство
то есть
.
(1.7)
Следует заметить, что критерий Коши имеет большое теоретическое значение, но на практике может быть использован только лишь для доказательства расходимости рядов, при этом его применение сопряжено с существенными трудностями. В связи с этим для исследования поведения числовых рядов реализуются более простые, но менее общие признаки сходимости и расходимости рядов.
Для
рядов с произвольными членами одним
из таких признаков является необходимый
признак сходимости: если ряд (1.1)
сходится, то его общий член стремится
к нулю, то есть
.
На практике этот признак реализуется
как достаточный признак расходимости:
если общий член ряда к нулю не
стремится, то этот ряд расходится.
Пример 1.3. Доказать расходимость гармонического ряда
.
(1.8)
Р е ш е
н и е. Воспользуемся критерием Коши
сходимости числового ряда. Если
положить
,
то согласно (1.7) в случае сходимости
ряда (1.8) для любого натурального
должно выполняться неравенство
.
Однако
если положить
,
то это неравенство не выполняется,
так как имеет место
,
поскольку
при
.
Таким образом, гармонический ряд (1.8) является расходящимся рядом, несмотря на то, что для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости:
.
Пример 1.4. Убедиться в расходимости ряда
Р е ш е н и е. Применим необходимый признак сходимости ряда, или, что то же самое, достаточный признак его расходимости. Так как общий член ряда равен
,
то
=
=
.
Поскольку общий член исходного ряда к нулю не стремится, то этот ряд расходится.
Задание 1.2. Доказать расходимость следующих числовых рядов:
а)
;
б)
1.3. Свойства сходящихся рядов и линейные операции над ними
Отметим основные свойства сходящихся рядов.
Добавление к сходящемуся ряду конечного
числа членов или отбрасывание их не
меняет сходимости ряда.
При умножении всех членов сходящегося
ряда (1.1), сумма которого равна
,
на некоторое число
вновь полученный ряд также сходится,
причем его сумма будет равна
,
то есть
.
При сложении двух сходящихся рядов
вновь полученный ряд также сходится,
при этом его сумма равна сумме сумм
складываемых рядов, то есть, если
,
,
то
.
Свойства
и
определяют правила выполнения линейных
операций над сходящимися числовыми
рядами: умножения ряда на некоторое
число
и сложения (вычитания) рядов, а
именно:
,
.
Пример 1.5. Доказать сходимость числового ряда
Р е ш е н и е. Представим заданный ряд в виде суммы двух рядов:
,
каждый из которых представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии. Так как сумма сходящихся рядов есть ряд сходящийся, то исследуемый исходный ряд также сходится.
Задание 1.3. Исследовать на сходимость числовой ряд
.
Ответ: ряд расходится.