2.2. Функции распределения

Путь на станке обрабатывают в размер X N заготовок. N – достаточно большая величина. Интервал всех возможных значений размера X – . Может возникнуть вопрос: "Как часто следует ожидать появления того или иного значения X в пределах интервала ?". На языке теории вероятностей этот вопрос формулируется по другому: "Какое распределение на интервале имеет размер X?"

Существует два способа задания распределения. К наиболее распространенным принадлежат Рис.3.1.Графическое аналитический и графический в виде графика). представление функции Аналитически распределение задаётся в виде распределения

функции, обладающей особыми свойствами. Пример графического представления дан на рис.3.1.

Чтобы получить представление о характере распределения необходимо:

1) иметь большое количество изготовленных деталей в N штук – генеральную совокупность;

2) произвести из этой генеральной совокупности случайную и независимую выборку объёмом n единиц (обычно n 40…60 единиц)

3) измерить интересующий размер X;

4) результаты измерения статически обработать и построить гистрограмму (рис.2.) распределения размера X, которая и будет давать представление о характере, т.е. закон распределения размера X –

Гистрограмма – это столбиковая диаграмма, содержащая в общем случае k столбиков. Ширина столбика h – это 1/k разности между наибольшим и наименьшим размером в выборке. Каждый из n размеров принадлежит тому или иному столбику. Высота столбика пропорциональна количеству размеров, принадлежащих ему.

Если выборка объёмом n отражает закономерность изготовления размера X на данном оборудовании, т.е. произведена правильно, то график гистрограммы распределения, согласно теореме Бернулли, при и будет неограниченно близко приближаться к некоторой неподвижной кривой . Функция в этом случае называется дифференциальной функцией распределения или, сокращённо, просто распределением

Гистрограммы распределений, действительно отражающие объективно существующие закономерности, называют репрезентативными (т.е. представительными) гистрограммами для распределения , а выборки, соответствующие гистрограммам – репрезентативными выборками распределения .

Для репрезентативных гистрограмм верно соотношение:

где – вероятность события X в интервале h или – вероятность попадания случайной величины X в интервале .

Интервал возможных значений размера X – , на котором определено распределение , может уложиться или нет в интервал допустимых значений . Поэтому возникает задача определения вероятности попадания значений размера в заданный интервал.

Соотношение для позволяет получить формулу для вычисления вероятности попадания случайной величины X в заданный интервал , содержащийся в :

Геометрически означает площадь криволинейной трапеции (рис.2.)

Поскольку в интервале попадают все значения размера X, содержащийся в выборке объёмом n, то попадание значения случайной величины X в этот интервал будет достоверным событием. Поэтому:

Из данных соотношений можно получить характерные свойства любого из распределений.

Определение 1. Любая функция , обладающая двумя следующими свойствами:

на

может быть названа распределением на .

Интервал может быть как конечным (замкнутым или незамкнутым), так и бесконечным. В некоторых случаях его удобно называть теоретическим интервалом для распределения .

Часто в вероятностных расчетах приходится применять интегральную функцию распределения , которая определяется равенством:

,

где – вероятность принятия случайной величиной X значения, меньшего или, что то же, вероятность попадания случайной величины X в интервал . Сокращённо интегральную функцию распределения называют интегральным распределением.

Распределением и интегральное распределение связаны формулами:

Распределение , а также интегральное распределение являются полной (исчерпывающей) характеристикой случайной величины X.