4. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов a и b называется произведение их модулей на косинус угла между ними (рис.3):

Скалярное произведение обозначается: или .

Свойства скалярного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ,

;

Если векторы и заданы своими координатами в прямоугольном базисе, то

Угол между векторами a и b:

Задачи.

2.20. Дано: . Вычислить:

а) ;

б) ;

в) .

2.21. Известно, что . Определить, при каком значении k векторы и будут перпендикулярны.

2.22. Раскрыть скобки: .

2.23. Даны векторы и . Определить и _.

2.24. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, по­строенного на векторах , если известно, что

2.25. Найти угол между векторами a и b, если известно, что и .

2.26. Найти вектор x, образующий с ортом j угол 60°, с ортом k угол 120°, если .

2.27. Вычислить , если и .

2.28. Известно, что , где e₁ и e₂ - взаимно перпендикулярные орты. Определить углы треугольника ABC.

2.29. Найти угол, образованный единичными векторами e₁ и e₂, если известно, что векторы и перпендикулярны.

2.30. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами и .

2.31. Доказать, что четырехугольник с вершинами и является квадратом.

2.32. Найти косинус угла между диагоналями АС и BD параллелограмма, если заданы три его вершины и .

2.33. Найти координаты вектора a, коллинеарного вектору и удовлетворяющего условию .

2.34. Найти координаты вектора b, удовлетворяющего условию , и перпендикулярного векторам и .

5. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой вектор c, который:

1. имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах a и b:

;

2. перпендикулярен плоскости этого параллелограмма:

;

3. направлен в такую сторону, что если смотреть из конца вектора , то кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (рис.4). Такое расположение векторов и c называется правой тройкой.

В екторное произведение обозначается: или .

Свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

Если векторы и заданы своими координатами в прямоугольном базисе, то

.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b:

,

а площадь треугольника, построенного на этих векторах:

.

Задачи.

2.35. | а₁ | = l, | а₂ | = 2 и (a₁, а₂) = 120⁰. Вычислить:

а) | [а₁, а₂] |;

б) | [2а₁ + а₂, а₁ + 2а₂] |;

в) | [а₁ + 3a₂, 3а₁ – а₂] |.

2.36. Упростить выражения:

а) [i, j + k] – [j, i + k] + [k, i + j + k],

б) [a + b + c, c] + [a + b + c, b] + [b – c, a],

в) [2a + b, c – a] + [b + c, a + b],

г) 2i[j, k] + 3j[i, k] + 4k[i, j].

2.37. | a | = | b | = 5, (a, b) = 45⁰. Вычислить площадь тре­угольника, построенного на векторах и .

2.38. Заданы векторы а₁(3, -1, 2) и a₂(1, 2, -1). Найти координаты векторов:

а) [a₁, a₂];

б) [2a₁ + a₂, a₂];

в) [2a₁ – a₂, 2a₁ + a₂].

2.39. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4) и С(4, 3, 2).

2.40. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

2.41. Найти координаты вектора с, если известно, что он перпендикулярен векторам а(4, –2, –3) и b(0, 1, 3), образует с ортом j тупой угол и | с | = 26.

2.42. Найти координаты вектора с, если известно, что он перпендикулярен векторам а(2, –3, 1) и b(1, –2, 3), а также удовлетворяет условию с(i + 2j – 7k) = 10.