6. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Значения производной зависят от , т.е. производная также представляет собой функцию от . Дифференцируя эту функцию, можно получить вторую производную от функции , т.е. . Производной n-го порядка от функции называется производная первого порядка от производной -го порядка и обозначается символом или : . Аналогично вводятся дифференциалы высших порядков. Дифференциал от первого дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается: .

Найдем выражение для второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала имеем: , т.к. не зависит от . Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала -го порядка: .

Пример.

Найти производную и дифференциал второго порядка функции

.

Решение.

Используя правило дифференцирования сложной функции, находим

, .

Следовательно,

, .

Задачи.

Найти производные и дифференциалы 2-го порядка от следующих функций:

7.61. ;

7.62. ;

7.63. ;

7.64. .

7.65. Найти , если .

7.66. Найти , если .

7. Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенности типа ).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, и . Тогда, если и существует , то существует и , причем

.

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно.

Замечание 2. Теорема верна в случае .

Замечание 3. Теорема верна в случае, если

,

(т.е. имеет место неопределенность типа )

С помощью тождественных преобразований к основному типу или можно свести неопределенности других типов, таких, как

.

Пример.

Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение.

а) при получаем неопределенность типа :

;

б) при получаем неопределенность типа . Чтобы раскрыть ее, применяем правило Лопиталя дважды:

;

в) здесь имеем неопределенность типа :

;

г) здесь имеем неопределенность типа :

д) здесь имеем неопределенность типа . Обозначим и прологарифмируем это равенство по основанию е:

.

В правой части этого равенства при имеем неопределенность типа . Применяя дважды правило Лопиталя, находим

Следовательно, .

Задачи.

Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

7.67. ; 7.68. ;

7.69. ; 7.70. ;

7.71. ; 7.72. ;

7.73. ; 7.74. ;

7.75. ; 7.76. ;

7.77. ; 7.78. ;

7.79. ; 7.80. ;

7.81. ; 7.82. ;

7.83. ; 7.84. ;

7.85. ; 7.86. ;

7.87. ; 7.88. ;

7.89. ; 7.90. ;

7.91. ; 7.92. .

8. Формула Тейлора

Если функция имеет производные до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки , то для всякого из этой окрестности справедлива формула Тейлора (порядка n):

где - остаточный член формулы Тейлора. Остаточный член позволяет оценить ошибку в результате замены функции ее многочленом Тейлора

т.е. .

Имеются различные формы записи остаточного члена . Наиболее удобна для анализа и запоминания форма Лагранжа:

.

На практике часто рассматривают случай, когда , тогда

–

формула Маклорена.

Смысл формулы Тейлора, как и формулы Маклорена, состоит в том, что функция сложной «природы» заменяется многочленом. Если в формуле Тейлора (Маклорена) отбросить остаточный член, то получится приближенная формула, заменяющая данную функцию многочленом n-й степени.

Приближенные формулы основных элементарных функций:

;

;

;

;

;

.

В частном случае, когда – целое число, получаем бином Ньютона:

.

Данные формулы эффективно используются при вычислении пределов функций.

Пример.

Вычислить предел: .

Решение.

Заменяя и их разложениями по формуле Маклорена , , получаем

.

Задачи.

7.93. Многочлен разложить по степеням .

7.94. Многочлен разложить по степеням .

7.95. Многочлен разложить по степеням .

7.96. Многочлен разложить по степеням .

7.97. Разложить по формуле Тейлора функцию до 4-го порядка включительно в точке .

7.98. Разложить по формуле Тейлора функцию до 4-го порядка включительно в точке .

Используя формулы Маклорена основных элементарных функций, написать первые n членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для следующих функций:

7.99. ; 7.100. ;

7.101. ; 7.102. .

Вычислить пределы, используя известные разложения в ряд Маклорена:

7.103. ; 7.104. ;

7.105. ; 7.106. ;

7.107. ; 7.108. ;

7.109. ; 7.110. .