2.3. Метод замены переменной

Для вычисления интеграла этим методом вместо подставляют функцию где – дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию Подставив в исходное подынтегральное выражение, получим

Таким образом, вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла

Функцию надо подобрать так, чтобы интеграл вычислялся проще исходного. После вычисления интеграла необходимо сделать замену (т.e. вернуться к старой переменной x).

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение.

Сделаем замену тогда поэтому

.

Теперь сделаем обратную замену

Пример.

Вычислить интеграл:

Решение.

Введем замену тогда поэтому

Задачи.

Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок:

8.45. ;

8.46. ;

8.47. ;

8.48. ;

8.49. ;

8.50. .

Вычислить интегралы с помощью подходящих подстановок:

8.51. ; 8.52. ;

8.53. ; 8.54. ;

8.55. ; 8.56. ;

8.57. ; 8.58. ;

8.59. ; 8.60. ;

8.61. ; 8.62. .

2.4. Метод интегрирования по частям

Если и – дифференцируемые функции, то справедлива следующая формула:

или в краткой записи

.

Это и есть формула интегрирования по частям. Она используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл в правой части равенства будет проще исходного интеграла.

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение.

Здесь удобно взять тогда

Подобным образом вычисляются интегралы вида:

.

(Здесь – целое число). Во всех этих примерах нужно внести под знак дифференциала. Эти интегралы можно отнести к 1–ому типу применения метода интегрирования по частям.

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение.

Вносим под знак дифференциала:

Подобным образом вычисляются интегралы вида:

где целое положительное число. Здесь под знак дифференциала нужно вносить уже не а функции .

Эти интегралы можно отнести ко 2–ому типу применения метода интегрирования по частям.

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение. Обозначим исходный интеграл через и применим формулу интегрирования по частям два раза, внося каждый раз под знак дифференциала (в данном случае под знак дифференциала можно вносить и ).

.

Сравним исходное и конечное выражения. Имеем

.

Решим данное уравнение относительно :

.

Отсюда

.

Такие интегралы относим к 3–ему типу.

Задачи.

Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

8.63. ; 8.64. ;

8.65. ; 8.66. ;

8.67. ; 8.68. ;

8.69. ; 8.70. ;

8.71. ; 8.72. ;

8.73. ; 8.74. ;

8.75. ; 8.76. .

2.5. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов

Рациональной дробью называется отношение многочленов например, – рациональные дроби.

Схему вычисления интегралов от рациональных дробей можно разбить на пять этапов:

1. Разделить числитель на знаменатель с остатком, если степень числителя больше или равна степени знаменателя;

2. Разложить знаменатель дроби на неразложимые множители первой и второй степени;

3. Записать разложение дроби в сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами;

4. Найти неопределенные коэффициенты;

5. Вычислить интегралы от полученных простейших добей.

Остановимся подробно на каждом из этапов.

Этап 1.

Деление числителя на знаменатель.

Будем называть рациональную дробь правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Например, - правильные дроби, а дроби правильными не являются. Если дробь не является правильной, то необходимо поделить числитель на знаменатель. Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления целых чисел.

Пример.

Привести дробь к правильной.

Решение.

Разделим числитель на знаменатель:

В итоге получим результат деления: частное и остаток , т.е. исходная дробь может быть представлена в виде

Задачи.

Представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

8.77. ; 8.78. ;

8.79. ; 8.80. ;

8.81. ; 8.82.

Этап 2.

Разложение знаменателя дроби на неразложимые множители первой и второй степени.

Многочлен второй степени называется неразложимым, если его дискриминант меньше 0 Если дискриминант то многочлен второй степени можно представить в виде где и – корни уравнения

Теорема.

Любой многочлен может быть разложен в произведение неразложимых многочленов первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Отметим, что если нам известен один корень многочлена то делится на без остатка.

Если – целый корень уравнения , то коэффициент делится на

Пример.

Разложить многочлен в произведение неразложимых многочленов.

Решение.

Прежде всего, нам надо угадать какой–либо корень уравнения. Для этого выпишем целые делители свободного члена: число делится на . Проверим эти значения, подставляя в многочлен:

Итак, является корнем уравнения. Разделим на .

Получили: где .

Свободный член многочлена делится на . Подбираем корень:

Следовательно, корень уравнения и многочлен делится на : где . Отсюда

.

Итак,

Задачи.

Разложить следующие многочлены в произведение неразложимых многочленов первой и второй степени:

8.83. 8.84.

8.85. 8.86.

8.87. 8.88.

8.89. 8.90.

8.91. 8.92. .

Этап 3.

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие, без нахождения численных значений неопределенных коэффициентов. Простейшими дробями называют дроби следующих типов:

I.

II.

III.

IV.

Правило разложения на простейшие дроби состоит в следующем. Если в знаменателе исходной дроби присутствует множитель то в разложении должна присутствовать сумма следующих дробей:

.

Если же в знаменателе присутствует множитель то ему соответствует следующая сумма простейших дробей:

.

Пример.

Разложить дробь в сумму простейших дробей.

Решение.

.

Пример.

Разложить дробь в сумму простейших дробей.

Решение.

.

Пример.

Разложить дробь в сумму простейших дробей.

Решение.

.

Задачи.

Разложить данную рациональную дробь в сумму простейших дробей. Численных значений коэффициентов не находить:

8.93. 8.94.

8.95. 8.96.

8.97. 8.98.

8.99. 8.100.

Этап 4.

Нахождение неопределенных коэффициентов.

Методы нахождения неопределенных коэффициентов рассмотрим на следующих примерах.

Пример.

Найти неопределенные коэффициенты А и В в разложении

.

Решение.

Приведем дробь, стоящую справа, к общему знаменателю

.

Из равенства дробей и равенства знаменателей следует равенство числителей: .

Это равенство должно выполняться при любом значении . Удобно рассмотреть такие , при которых одна из скобок обратилась бы в 0, т.е. и .

При получим: .

При получим : .

Итак,

.

Пример.

Найти неопределенные коэффициенты в разложении:

Решение.

Приведем выражение, стоящее справа, к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей:

Теперь раскроем скобки и приведем подобные члены

Два многочлена равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему:

;

Итак, наше разложение имеет вид:

.

Задачи.

Найти неопределенные коэффициенты в следующих разложениях:

8.101. ;

8.102. ;

8.103. ;

8.104. .

Записать разложение в сумму простейших дробей и найти неопределенные коэффициенты:

8.105. ; 8.106. ;

8.107. ; 8.108. ;

8.109. ; 8.110. .

Этап 5.

Интегрирование простейших дробей.

Мы выделили 4 типа простейших дробей (этап 3). Интегралы от дробей типа I и II берутся без труда

,

.

Интегрирование дробей III типа рассмотрим на следующем примере.

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение.

Выделим в знаменателе полный квадрат:

и введем замену . Получим

Что касается интегралов типа IV, укажем лишь основную идею решения:

.

Разложив последний интеграл на простейшие дроби, мы придем к интегралу типа . Применяя этот прием раз, мы сведем наш интеграл к интегралу типа III.

Задачи.

Вычислить следующие интегралы от рациональных дробей:

8.111. ; 8.112. ;

8.113. ; 8.114. ;

8.115. ; 8.116. ;

8.117. ; 8.118. ;

8.119. ; 8.120. ;

8.121. ; 8.122. ;

8.123. ; 8.124. ;

8.125. ; 8.126. .