Вопрос 1. Какой основной недостаток модели свободных электронов

Варианты ответов:

невозможность описать тепловое расширение

невозможность объяснить различия между диэлектриками, полупроводниками и проводниками

невозможность точно описать взаимодействия всех частиц, составляющих твердое тело

Вопрос 2. Используется ли в одноэлектронном приближении аддиабатическое приближение

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 3. Блоховская волновая функция имеет вид

Варианты ответов:

Вопросы для контроля

1. Опишите модель свободных электронов

2. Приведите основные предположение одноэлектронного приближения

3. Напишите волновую функцию Блоха

4. Что гласит теорема Блоха в трехмерном случае

5. Какое дополнительное условие накладывается на амплитуду волновой функции электрона в периодическом поле кристалла

Лекция 13. Изменение состояния электронов при сближении атомов. Приближение почти свободных электронов. Модель Кронига–Пенни.

Изолированный атом можно рассматривать как потенциальную яму, в которой электрон может занимать одно из нескольких дискретных энергетических состояний. Если атомы находятся на расстоянии много больше периода кристаллической решетки, то взаимодействием между ними можно пренебречь, а потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. Если атомы находятся на расстоянии порядка параметра решетки (несколько ангстрем a 10^-10 м), то взаимодействие между ними уже не пренебрежимо мало и за счет него уменьшается высота потенциального барьера. Уменьшение высоты потенциальных барьеров при сближении атомов приводит к тому, что валентные электроны в металлах переходят между атомами. Таким образом, в кристаллах происходит не только уменьшение высоты потенциальных барьеров, но и качественное изменение энергетических уровней электронов в атомах. Исходя из соотношения неопределенности энергии-времени и принимая во внимание, что скорость движения электронов в металлах ~ 10⁵ м/с, а около конкретного узла решетки он находится в течение приблизительно 10^-15 с, то можно получить, что ширина энергетического уровня E ~ 1 эВ. Это означает, что в кристаллах энергетический уровень электрона расщепляется в энергетическую зону  и возникает система энергетических зон, которые представляют собой не непрерывный ряд значений энергии электронов, а система близких друг к другу дискретных уровней энергии. Расстояния между этими подуровнями чрезвычайно малы, так что такую область можно рассматривать как энергетическую зону с квазинепрерывным спектром энергетических состояний. Отсюда следует что, моноэнергетический уровень превращается в энергетическую зону - зону разрешенных энергий. Зоны разрешенных энергий чередуются с  зонами запрещенных энергий. В качестве первого приближения для описания поведения электронов в кристалле полем ионных остовов пренебрегают и используют модель электронного Ферми-газа, называемую также приближением свободных электронов. Согласно теории Ферми-газа, функция плотности состояний для электронов Ферми-газа имеет вид:

. Энергия Ферми (наивысший энергетический уровень, занятый электронами при нуле температур; при T=0 эквивалентен химическому потенциалу системы в ее основном состоянии, т.е при Т=0) при температуре абсолютного нуля вычисляется по формуле: , где n- концентрации свободных электронов. Энергия Ферми при температуре Т вычисляется согласно . Поскольку модель свободных электронов всё же не может полностью описать поведение электрона в кристалле, то рассматривается модель почти свободных электронов, предложенная Крониг и Пенни: движение электрона в линейной цепочке прямоугольных потенциальных ям. В рамках модели Крониг и Пенни объяснено возникновение запрещенных зон с энергетической точки зрения и намечена зависимость энергии электрона от волнового числа k для барьеров различной прозрачности P. Конкретный вид зависимости энергии электрона от его волнового вектора определяется несколькими факторами: симметрией кристалла, типом атомов, его образующих. Анизотропия кристалла обуславливает зависимость от кристаллографического направления. На основе зонной теории вещества классифицированы на металлы, полупроводники и диэлектрики:

1. у металлов над целиком заполненными зонами располагается зона лишь частично заполненная.

2. диэлектрики - тела, у которых над целиком заполненными зонами располагаются полностью пустые, отделенные широким запрещенным интервалом.

3. полупроводники - вещества, имеющие сравнительно узкую запрещенную зону.

Тест:

Вопрос 1. Что происходит с потенциальными барьерами при сближении атомов

Варианты ответов: уменьшение высоты, увеличение высоты, высоты барьеров остаются на прежнем уровне

Вопрос 2. Какое качественное изменение энергетического уровня электрона происходит при сближении атомов на расстояние параметра решетки в металлах

Варианты ответов: ничего не происходит; расщепляется в энергетическую зону

Вопрос 3 Строение энергетической зоны

Варианты ответов: непрерывный ряд значений энергии электронов; система близких друг к другу дискретных уровней энергии; система далеко отстоящих друг от друга уровней энергии.

Вопрос 4. Энергия Ферми при температуре абсолютного нуля в зависимости от n- концентрации свободных электронов в модели электронного Ферми-газа вычисляется по формуле:

Варианты ответов:

; ;

Вопросы для контроля:

1. Качественно опишите как происходит расщепление энергетического уровня электрона расщепляется в энергетическую зону, что это означает.

2. Дайте основные характеристики модели электронного Ферми-газа (модели свободных электронов)

3. Нарисуйте качественный вид функция заполнения состояний электронами Ферми-газа при температурах Т₁=0 <Т₂< Т₃

4. Назовите основные положения модели почти свободных электронов (модели Кронига–Пенни)

Лекция 14. Движение электрона в периодическом поле кристалла под действием однородного внешнего электрического поля. Эффективная масса электрона

Рассматривается движение электрона в периодическом поле кристалла под действием однородного внешнего электрического поля, в результате воздействия которого он приобретает свойства, в корне отличающие его от классической частицы. Однако, движение отдельного электрона в кристаллической решетке можно описывать в виде второго закона Ньютона, в котором учитываются только внешние по отношению к кристаллу силы (т.е. с помощью того же уравнения, что и для движения свободной частицы). Учитывая, что в кристалле электрону необходимо сопоставить группу волн де Бройля с различными значениями частот  и волновых векторов k (в то время как свободный электрон описывается монохроматической волной де Бройля и нигде не локализован.) Центр такой группы волн перемещается в пространстве с групповой скоростью . Задача о движении электрона в кристалле под действием внешнего однородного электрического поля решается в одномерном случае и выводится соотношение для эффективной массой электрона в кристалле . Здесь постоянная Дирака или приведенная постоянная Планка, h –постоянная Планка, E-энергия электрона, k –волновое число. Эффективная масса электрона не имеет никакого отношения к массе свободного электрона, это характеристика системы электронов в кристалле в целом, связанная с видом дисперсионного соотношения электрона в кристалле. Она не определяет ни гравитационных, ни инерционных свойств электрона, может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона, как положительной, так и отрицательной. По сути электрону в кристалле, связанному взаимодействиями с кристаллической решеткой и другими электронами, сопоставили некую новую свободную “микрочастицу”, обладающую лишь двумя физическими параметрами реального электрона - его зарядом и спином. Такую частицу часто называют квазиэлектроном или носителем отрицательного заряда, все её параметры квазиимпульс, эффективная масса, кинетическая энергия и т.д., кроме заряда и спина, определяются свойствами кристаллической решетки. На одномерном примере рассмотрены зависимости от волнового числа: энергии, скорости и эффективной массы электрона.

Текучесть - свойство тел пластически или вязко деформироваться под действием напряжений. У вязких тел (газов, жидкостей) текучесть проявляется при любых напряжениях, у пластичных твердых тел — лишь при высоких напряжениях, превышающих предел текучести. Предел текучести — механическое напряжение, при напряжениях выше которого упругая деформация тела (исчезающая после снятия напряжения) переходит в пластическую (необратимую, когда геометрия тела не восстанавливается после снятия деформирующего напряжения).

наличие упорядоченного расположения и стабильности окружающих данный атом ближайших его соседей- ближний порядок.

наличие упорядоченного расположения и стабильности окружающих данный атом атомов, находящихся от него на значительных расстояниях вплоть до границ зерен -дальний порядок.

Поликристалл — агрегат мелких кристаллов какого-либо вещества, эти кристаллы неправильной формы называются кристаллитами или кристаллическими зёрнами

Обобщенно элементарную ячейку можно описать, как минимальный объём кристалла, трансляции (параллельные переносы) которого в трёх измерениях позволяют построить всю кристаллическую решётку идеального кристалла. Бравэ сформулировал 3 правила выбора элементарных ячеек, выполняемые в указанной ниже последовательности.

1.      Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла.

2.      Элементарная ячейка должна иметь максимальное число равных ребер и равных углов.

3.      При условии выполнения двух первых правил элементарная ячейка должна иметь минимальный объем.

Совокупность координат всех узлов, приходящихся на элементарную ячейку, часто называют ее базисом.

Элементарную ячейке строят на трех некомпланарных векторах (три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга), называемых векторами основных трансляций 

Модули векторов  называются периодами элементарной ячейки, а углы между векторами элементарных трансляций , ,    углами элементарной ячейки

обратная решетка - удобная абстракция, позволяющей математически наиболее просто описать условия протекания того или иного процесса в твердом кристаллическом теле, однозначно связанная с прямой (обычной) решеткой.

Компактность кристаллической решетки - степень заполненности ее объема атомами

Параметр решетки - это расстояние между атомами по ребру элементарной ячейки.

координационное число - количество ближайших соседей данного атома.

Кристаллографические направления - это характерные прямые линии, выходящие из точки отсчета, вдоль которых в кристаллической решетке располагаются атомы. Точками отсчета, могут служить вершины куба, а кристаллографическими направлениями - его ребра и диагонали, а также диагонали граней

анизотропия - неодинаковость механических и других свойств в кристаллических телах вдоль различных кристаллографических направлений.

зоны Бриллюэна - многогранники, построенные по определенным правилам в обратной решётке кристалла. Первая зона Бриллюэна содержит все физически неэквивалентные наименьшие разрешённые квазиимпульсы, характеризующие состояние электронов. Форма зон Бриллюэна определяется симметрией кристалла. Можно сказать, что области значений волнового вектора k, при которых энергия изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв. http://dic.academic.ru/dic.nsf/es/9996/%D0%91%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D1%8E%D1%8D%D0%BD%D0%B0

фонон- квазичастица, представляющая собой квант колебательного движения атомов кристалла, в отношении которой справедливы все концепции корпускулярно-волнового дуализма.