4.3. Сведение интеграла от иррациональной функции к интегралу от тригонометрической функции.
Подстановки Эйлера,
играя важную теоретическую роль, на
практике приводят обычно к громоздким
выкладкам, поэтому прибегать к ним надо
в крайних случаях, когда не удается
более просто вычислить интеграл другим
способом. Одним из таких способов
является следующий. Если в квадратном
трехчлене
выделить полный квадрат, то есть привести
его к виду
и положить
, то интеграл
приводится к одному из трех видов:
,
,
.
Сделав в первом
из этих интегралов подстановку
,
во втором
, в третьем
,
получаем интегралы вида
.
Способы их вычисления будут рассмотрены в следующем параграфе.
Пример 6. Вычислить
интеграл
.
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:
.
Сделаем
замену
.
Подставляя в
исходный интеграл
,
получаем
.
В этом
интеграле делаем замену
,
при этом мы избавляемся от иррациональности, так как
,
.
Подставляя эти
выражения в интеграл в случае, если
,
затем упрощая подынтегральное выражение,
получаем
, где
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, получаем
Аналогично интеграл
вычисляется в случае, если
.
4.4. Интегрирование дифференциального бинома.
Дифференциальный
бином или биномиальный дифференциал,
это интеграл вида
,
где
Пафнутий Львович Чебышев доказал, что он сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях.
1 случай.
Число p
является целым
.
В этом случае делаем замену
где
– наименьший общий знаменатель дробей
m
и n.
2 случай.
,
.
Замена
,
где
– знаменатель дроби p.
3 случай.
,
.
Замена
,
где
– знаменатель дроби p.
Доказательство.
1 случай.
Приведём дроби
и
к общему знаменателю
=НОК
.
Тогда
.
В этом случае интеграл рационализируется
заменой
.
Переходя к новой
переменной, получаем интеграл от
рациональной функции
.
2 случай.
Число p
не является целым. Представим его в виде
несократимой дроби
.
Сначала сделаем
в интеграле замену
В результате получаем интеграл
.
Если
,
то интеграл приводится к интегралу от
рациональной функции заменой
,
где
- знаменатель дроби p.
В этом случае
получаем интеграл от рациональной
функции
,
где
.
3 случай.
Как и во втором случае с помощью замены
,
сначала получаем интеграл
Преобразовав
выражение
,
приводим интеграл
к виду
.
Если
и
– знаменатель дроби p,
то замена
позволяет получить интеграл от рациональной функции
,
где
.
Пример 7.
Вычислить интеграл
.
Запишем интеграл в виде дифференциального бинома
.
В данном случае
число
не является целым. Значит, первый случай
не подходит. Числа
;
проверяем, подходит ли второй случай.
Число
также не является целым, поэтому второй
случай тоже
не подходит. Число
является целым, значит подходит третий
случай для подстановок Чебышева. В этом
случае интеграл рационализируется
заменой
Подставляя эти выражения в исходный интеграл, получаем интеграл от рациональной функции
.
Как его вычислять, описано ранее.