Завдання для самостійної роботи студентів

Проробити параграфи рекомендованої літератури:

[1] Розділ ІІ, введення, глава 1 §§ 1, 3, 4, 5

[2] Розділ ІІ, глава ІХ §§ 36, 37, 40

[3] Розділ ІІ, глава VII, VIII §§ 62-69

Відповісти на питання:

1. Які способи завдання руху точки існують і в чому є суть кожного з них?

2. Як визначається швидкість точки в кожному із способів завдання руху?

3. Який напрямок має вектор швидкості точки по відношенню до її траєкторії?

4. Чим відрізняється поняття дугової координати точки і пройденого нею шляху?

Вирішити задачі:

[4] №№ 10.2, 10.12, 11.3

Лекція 2 Прискорення точки

Прискоренням точки називається міра змінювання швидкості точки, що дорівнює похідній за часом від вектора швидкості цієї точки в даній системі відліку.

,

або ,

,

.

Таким чином

, м/с². (2.1)

При координатному способі завдання руху прискорення визначається наступними формулами:

,

.

Звідси, враховуючи (1.8), проекції прискорення на декартові осі координат:

(2.2)

; (2.3)

(2.4)

Осі натурального тригранника

Введемо до розгляду одиничний вектор дотичний до траєкторії в деякій точці М, котрий завжди має напрям в сторону збільшення дугової координати.

Я кщо вектор точки М₁, близької до точки М, перенести в т. М і розглянути поведінку площини при наближенні т. М₁ до т. М, то ця площина, повертаючись навколо вектора , в границі займе положення так званої стичної площини.

П лощина проведена через т. М і перпендикулярна , називається нормальною площиною. Лінія Мn перетину стичної і нормальної площин називається головною нормаллю.

Площина, проведена через т. М перпендикулярно , називається бінормальною площиною. Лінія Мb перетину нормальної і бінормальної площин називається бінормаллю. Зазначені площини утворюють натуральний тригранник, а лінії їх перетину – натуральні осі координат: М - дотична або тангента. Мn – головна нормаль і Мb - бінормаль. Напрям натуральних осей координат задають одиничні вектори , , .

Таким чином, натуральними осями (осями натурального тригранника) називається прямокутна система осей Мnb з початком в рухомій точці М, які само собою зрозуміло, рухаються разом з точкою М.

Враховуючи (1.11) можна записати:

. (2.5)

При цьому, якщо , то , а якщо , то .

Визначимо прискорення точки при натуральному способі завдання руху.

. (2.6)

З найдемо модуль і напрям вектора .

де - кривизна кривої в т. М.,  - радіус кривизни кривої в т. М.

Якщо обчислювати похідну за часом від , то отримаємо . Таким чином, і оскільки цей вектор повинен належати стичній площині, то він спрямований по головній нормалі. Тоді можна записати

і остаточно (2.6) має вигляд:

(2.7)

або

, (2.8)

де , причому - дотичне (тангенціальне) прискорення точки;

, причому - нормальне (доцентрове) прискорення точки.

. (2.9)

. (2.10)

Формули рівномірного і рівнозмінного руху точки

1. Рівномірний рух ( )

; або ,

тобто

. (2.11)

2. Рівнозмінний рух ( )

; ,

тобто

. (2.12)

Враховуючи в (2.12) , маємо

,

тобто

. (2.13)

При прямолінійному русі

, і .