Тема 3. Финансовые потоки

Методические указания.

Финансовый поток представляет собой серию платежей R_t . Платежи могут быть постоянными по величине или переменными, положительными и отрицательными. Если члены потока платежей положительны и следуют через постоянные интервалы времени, то такой денежный поток называется финансовой рентой или аннуитетом.

По количеству выплат членов аннуитета на протяжении года различают годовые (выплата раз в году) ренты (аннуитеты) и р – срочные (выплаты р раз в году равными долями).

Для простого аннуитета выполняется условие:

R₁ = R₂ = …= R_n = R.

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех его платежей с начисленными на них процентами.

Аннуитеты, платежи которых учитываются по концу периода, называются аннуитетами постнумерандо. Аннуитеты, платежи которых учитываются по началу периода, называются аннуитетами пренумерандо.

Финансовые потоки характеризуются наращенной суммой ( на конец операции ) и современной стоимостью ( на начало операции ).

Обычная годовой аннуитет

Наращенная сумма аннуитета постнумерандо сроком n – лет, с потоком постоянных по величине платежей R, вносимых на расчетный счет в конце каждого года и начислением сложных процентов один раз в год по ставке i определяется по формуле

где s_ni – коэффициент наращения аннуитета.

А аннуитета пренумерандо – формулой:

Современная величина аннуитета постнумерандо определяется формулой:

где a_ni – коэффициент дисконтирования аннуитета.

Современная величина аннуитета пренумерандо определяется формулой:

Годовой аннуитет с начислением процентов m раз в году.

Если у годовых аннуитетов проценты начисляются m раз в году, то будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо рассчитываются, соответственно, по формулам:

а аннуитетов пренумерандо – по формулам:

Р – срочный аннуитет, случай m = 1 ( платежи выплачиваются равными долями р раз в году, а проценты начисляются раз в год).

Будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо рассчитываются, соответственно, по формулам:

Будущая и современная стоимости аннуитетов пренумерандо рассчитываются, соответственно, по формулам:

Р – срочная рента, p ≥ 1 m ≥ 1.

Будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо для случая p ≠ m, определятся выражениями, соответственно:

При тех же условиях будущая и современная стоимости аннуитетов пренумерандо определяются по формулам:

В случае, когда p = m , будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо и пренумерандо определятся, соответственно:

Если из четырех показателей финансового потока i, n, R, S(или A) известны три, то четвертый можно найти.

Определение размера платежа. Если известны ставка процента i, длительность финансовой операции n и будущая S (или современная A) стоимость аннуитета, то величина его регулярного платежа определится формулами:

Или в развернутом виде

Определение срока постоянной ренты, при известных прочих показателях денежного потока определится выражением:

Примеры решения задач.

Пример 3.1. Предприятие в течение 4 лет в конце каждого года перечисляет на расчетный счет 5 млн. руб. на которые раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока.

Решение:

Пример 3.2. Предприятие в течение 4 лет в конце каждого года перечисляет на расчетный счет 5 млн. руб. на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока.

Решение:

Пример 3.3. Предприятие в течение 4 лет в конце каждого квартала перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 5 млн. руб. в год на которые раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока. ( p – срочная рента ).

Решение:

Пример 3.4 Предприятие в течение 4 лет в конце каждого квартала перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 5 млн. руб. в год на которые раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока. ( p – срочная рента ).

Решение:

В рассматриваемом случае проценты начисляются m раз в году, число выплат в году p равно числу начислений процентов m (Характеристики ренты R, n, j, m=p1)

Пример 3.5 Предприятие в течение 5 лет в конце каждого года перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 15 млн. руб. Ежегодное дисконтирование осуществляется по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение:

Пример 3.6. Предприятие в течение 4 лет в конце каждого квартала перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 5 млн. руб. в год на которые два раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить современную стоимость ренты ( p – срочная рента, m = 2 ).

Решение:

Пример 3.7. Предприятие решило сформировать инвестиционный фонд в объеме 30 млн.руб. за 5 лет, делая годовые равные вклады в банк, который выплачивает проценты по годовой ставке 10% сложных. Каков должен быть размер годового вклада?

Решение:

Найдем значение коэффициента наращения по формуле

Тогда размер годового вклада равен R = S/ s_ni = 30 / 6,1051 = 4,914 млн. руб.

Пример 3.8. Заменить годовую семилетнюю ренту с годовым платежом 100 тыс. руб. на пятилетнюю годовую ренту. Ставка процента 12% годовых сложных.

Решение:

Запишем условие равенства наращенных сумм для первой (исходной) и второй рент:

откуда находим величину годовой выплаты искомой ренты

Пример 3.9. Кредит в объеме 5 млн.руб. выдан на 4 года под 15% годовых. Контракт предусматривает погашение кредита равными срочными выплатами постнумерандо. Рассчитать размер платежа.

Решение:

Выплаты по кредиту можно рассматривать как ренту с известной современной стоимостью А и искомым размером платежа R:

Выплаты основного долга образуют геометрическую прогрессию:

первый год D₁ = R - A∙i = 1,751 - 5∙0,15 = 1,001 млн. руб.;

второй год D₂ = D₁∙(1+i)¹ = 1,001 ∙ 1,15 = 1,152 млн. руб.;

третий год D₃ = D₂∙(1+i)² = 1,001 ∙ 1,15² = 1,324 млн. руб.;

четвертый год D₄ = D₃∙(1+i)³ = 1,001 ∙ 1,15² = 1,523 млн. руб.

Сумма D₁ + D₂ + D₃ + D₄ = 5 млн. руб.

Вычитая из R выплаты по основному долгу, получим величину процентных выплат по каждому году.

Пример 3.10. Предприниматель взял в банке кредит в 500 тыс. руб. под 10% годовых на 8 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 12% годовых. Определить ежегодную срочную плату в страховой фонд.

Решение:

Наращенная сумма долга на момент завершения договора составит:

Платежи в страховой фонд образуют ренту с годовым платежом R и годовой ставкой сложных процентов g = 12% годовых:

откуда находим объем годовых взносов в страховой фонд R = 1071,794 / 12,3 = =87.140 тыс. руб.

Расчет параметров финансовых операций с аннуитетами средствами Excel

Рассмотрим использование встроенных функций Excel для исчисления параметров аннуитетов на конкретных примерах.

Пример 3.11. Организация ежегодно перечисляет на банковский счет сумму в 300 тыс.руб. ежемесячно равными долями под ставку сложных процентов 12% годовых, которые тоже начисляются ежемесячно. Какова будет величина вклада к концу четвертого года? По найденной величине определить начальную сумму, обеспечивающую получение такого дохода.

Пример 3.12. Организация ежегодно перечисляет на банковский счет сумму в 300 тыс.руб. под ставку сложных процентов 12% годовых, начисляемых в конце года. Какова будет величина вклада к концу четвертого года? По найденной величине определить начальную сумму, обеспечивающую получение такого дохода.

Решение. Исходные данные для решения примеров 3.11 и 3.12 разместим в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Таблица исходных данных примеров 3.11 и 3.12

	A	B	C
1		Пример 2.1	Пример 2.2
2	Годовая процентная ставка, i	12%	12%
3	Количество начислений, m	1	12
4	Количество периодов, n	4	4
5	Постоянные годовые платежи, R	-300000	-300000
6	Будущее значение аннуитета, S
7
8	Современная стоимость аннуитета, A
9

В таблице 3.2 приведены функции и формулы, используемые для решения примеров 3.11 и 3.12.

Таблица 3.2. Формулы и функции таблицы 3.1.

Адрес ячейки	Формула
B6:С6	=БС(В2/В3;В3*В4;В5) →
B7:С7	=-В5*((1+ B2/В3)^(В3*В4) -1)/( B2/В3) →
B8:С8	= ПС(В2/В3;В3*В4;;В6) →
B9:С9	=-В6/(1+ B2/В3)^(В3*В4) →

Пример 3.13. Организация создает фонд для погашения обязательств размещая в банке сумму в 1 000 000 руб. и последующими ежегодными пополнениями суммами по 100 000 руб. Ставка по депозиту равна 12% годовых. Какова будет величина фонда в конце четвертого года: а) если начисление процентов производится в конце каждого периода; б) если начисление процентов производится в начале каждого периода? Решить обратную задачу для каждого варианта, т.е. по найденной величине фонда определить величину периодического платежа.

Решение. Исходные данные для решения примера 3.13 разместим в таблице 3.3.

Таблица 3.3. Таблица исходных данных примера 3.13.

	A	B	C
1	Годовая процентная ставка, i	12%	12%
2	Количество периодов, n	4	4
3	Постоянные годовые платежи, R	-100000	-100000
4	Начальная сумма, А	-1000000	-1000000
5	Тип аннуитета ( 0 или 1 )	0	1
6	Будущее значение вклада, БС (S)
7
8	Постоянные платежи, ПЛТ (R)
9

В таблице 3.4 приведены функции и формулы, используемые для решения примера 3.13.

Таблица 3.4. Формулы и функции таблицы 3.1.

Адрес ячейки	Формула
B6	=БС(В1;В2;В3;В4)
С6	=БС(С1;С2;С3;С4;С5)
B7	=-В3*((1+ В1)^В2-1)/В1-В4*(1+ В1)^В2
С7	=(-С3*((1+ С1)^С2-1)/С1)*(1+С1)-С4*(1+ С1)^С2
B8	= ПЛТ(В1;В2;В4;В6)
С8	= ПЛТ(С1;С2;С4;С6;С5)
B9	=-(В7+В4*(1+ В1)^В2)*В1/((1+ В1)^В2-1)
С9	=-((С7+С4*(1+ С1)^С2)*С1/((1+ С1)^С2-1))/(1+С1)

Если поступления (выплаты) произвольных сумм осуществляются через равные промежутки времени, их будущую величину можно определить следующим соотношением:

Задачи по вариантам.

Задача 1. Фирма формирует целевой фонд, вкладывая в банк ежегодно 2,5 млн. руб. под 12% сложных годовых. Какая сумма будет на счету фонда через 10 лет?

Задача 2. Найти современную и наращенную суммы годовой ренты с ежегодным платежом в объеме 200 000 руб. сроком 7 лет под 8% годовых.

Задача 3. Найти современную и наращенную суммы годовой ренты с ежегодным платежом в объеме 20 000 руб. сроком 5 лет под 12% годовых с капитализацией процентов четыре раза в год.

Задача 4. Господин Иванов желает накопить на квартиру 3 млн.руб. за 10 лет, делая годовые равные вклады в банк, который выплачивает проценты по годовой ставке 12% сложных. Каков должен быть размер годового вклада?

Задача 5. Господин Иванов решил ежегодно вносить на свой счет по 8 000 руб., делая равные взносы ежеквартально. Какая сумма накопится на его счету через восемь лет, если банк начисляет на вклады 10% годовых сложных?

Задача 6. Для создания благотворительного фонда ежегодно выделяется по 100 000 руб. , которые вкладываются в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 12% годовых. Какая сумма накопится в фонде через 9 лет, если взносы делаются в конце года, а проценты начисляются ежеквартально?

Задача 7. Для создания благотворительного фонда ежегодно выделяется по 100 000 руб. , которые вкладываются в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 12% годовых. Какая сумма накопится в фонде через 9 лет, если равные взносы делаются в каждого квартала, а проценты начисляются по полугодиям?

Задача 8. Предприятие планирует через 6 лет провести реконструкцию стоимостью 150 000 тыс. руб. Какую сумму необходимо выделять ежегодно при условии внесения платежей равными долями в конце каждого года и начислении банковских процентов ежеквартально по ставке 12% сложных годовых?

Задача 9. Предприятие планирует через 6 лет провести реконструкцию стоимостью 150 000 тыс. руб. Какую сумму необходимо выделять ежегодно при условии внесения платежей равными долями в конце каждого квартала и начислении банковских процентов по полугодиям при ставке 12% сложных годовых?

Задача 10. Торговая фирма вкладывает 250 000 руб. в банк в конце каждого года. Банк начисляет проценты по ставке 9% годовых сложных. Какая сумма накопится у фирмы: а) через 5 лет; б) через 10 лет?

Задача 11 Торговая фирма вкладывает 250 000 руб. в банк в конце каждого года. Банк начисляет проценты по ставке 9% годовых сложных. Какая сумма накопится у фирмы через 5 лет, если платежи вносятся раз в квартал и проценты начисляются раз в квартал?

Задача 12. Предприниматель хочет накопить 700 000 руб. за 4 года, делая ежегодные равные вклады в банк с начислением на них 12% годовых сложных. Каков должен быть размер вкладываемой суммы?

Задача 13. Предприниматель хочет накопить 700 000 руб. за 4 года, делая ежегодные равные вклады в банк с ежемесячным начислением на них 12% годовых сложных. Каков должен быть размер вкладываемой суммы?

Задача 14.Найти стоимость годовой ренты с ежегодным платежом 200 000 руб., если проценты по номинальной ставке 12% начисляются ежемесячно. Срок ренты пять лет.

Задача 15. Определить размер ежегодного взноса, который необходимо делать для погашения долга в 2 млн. руб. через четыре года, если ставка сложного процента составляет 12% годовых.

Задача 16. При какой минимальной ставке сложных процентов удастся за четыре года накопить 2 млн. руб. при ежемесячных перечислениях размером 40 тыс. руб. Задачу решить используя инструмент табличного процессора Excel «Подбор параметра».

Задача 17. Кредит в объеме 2 млн.руб. выдан на 3 года под 11% годовых. Контракт предусматривает погашение кредита равными срочными выплатами постнумерандо. Рассчитать размер платежа.

Задача 18. Заменить годовую пятилетнюю ренту с годовым платежом 50 тыс. руб. на ренту с полугодовым платежом в размере 30 тыс. руб. Ставка процента 9% годовых сложных.

Задача 19. Заменить годовую пятилетнюю ренту с годовым платежом 50 тыс. руб. на трехлетнюю годовую ренту. Ставка процента 9% годовых сложных.

Задача 20. Предприятие создает фонд для реконструкции производства, вкладывая в него каждые два месяца по 10 млн. руб. Деньги накапливаются в банке, выплачивающем 8% годовых сложных. Какая сумма будет в фонде через 10 лет.

Задача21. Банк выплачивает на вложенные в него деньги по ставке 12% годовых. Клиент вкладывает ежегодно 10 тыс. руб., делая равные вклады в конце каждого квартала. Какая сумма накопится на счете клиента через четыре года?

Задача 22. Предприниматель взял в банке 100 тыс. руб. под 12% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 15% годовых. Определить ежегодную срочную уплату в страховой фонд.

Задача 23. Кредит в 2 млн.руб. получен фирмой в банке под 6% годовых на 5 лет. Для погашения ссуды создан страховой фонд, в который делаются равные ежегодные взносы. Деньги фонда приносят доход 8% годовых. Найти ежегодную срочную плату по долгу.

Задача 24. Контракт предусматривает следующий порядок использования кредитной линии: 1.07.2013 г. – 8 млн. руб.; 1.07.2014 г. – 18 млн. руб.; 1.01.2015 г. – 3 млн. руб. Определить сумму задолженности на 1.01.2016 г.и современную стоимость этого потока при условии, что проценты начисляются по ставке 15% годовых сложных.

Задача 25. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год , на которые начисляются в конце года по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Задача 26. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год , на которые ежемесячно начисляются по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Задача 27. На покупку недвижимости был взят потребительский кредит объемом 400 000 руб. на 10 лет под 7% годовых простых. По условиям договора его погашение должно осуществляться ежеквартально равными долями. Найти размер выплаты.

Задача 28. Раз в полгода делается взнос в банк по схеме пренумерандо в размере 300 долл. на условии 10% годовых, начисляемых ежеквартально. Какая сумма будет на счете через 5 лет ?

Задача 29. Заем в 40 000 рублей взят на 8 лет под 10% годовых. Погашаться будет равными годовыми выплатами основного долга плюс проценты на остаток долга. Рассчитать размер ежегодных выплат.

Задача 30. Заем в 40 000 рублей взят на 8 лет под 10% годовых. Погашаться будет равными годовыми выплатами. Рассчитать размер ежегодных выплат.

Задача 31. Сколько лет понадобится для выплаты долга в 10 000 долл. Равными платежами по 1600 долл. При процентной ставке 11% ?

Задача 32. Рассчитайте срок окупаемости капитальных вложений, если инвестиционные затраты составляют 500 000 руб., коэффициент дисконтирования – 12%, а ежегодная величина чистого дохода ожидается в размере 200 000 руб. в течение 4 лет.

Задача 33. Найти реальную годовую процентную ставку, обеспечивающую безубыточную замену ежеквартального начисления процентов, при номинальной ставке 10% годовых.

Задача 34. Фирма планирует покупку земельного участка, стоимость которого оценивается в 1 000 000 руб. Какова должна быть величина ежегодного взноса для создания соответствующего фонда в течение 10 лет, если ставка процента равна 5%, 10%. 12%, 15%.

Задача 35. Какова приведенная стоимость аннуитета постнумерандо с изменяющимся денежным потоком общей продолжительностью 10 лет, имеющего нулевые поступления в первые три года и равные поступления в 1000 долл. в оставшиеся годы, если рыночная норма прибыли равна 10% для первых трех лет и 12% для оставшихся семи лет ?

Задача 36. Вам необходимо накопить 15 000 долл. за 5 лет. Каким должен быть ежегодный взнос в банк по схеме пренумерандо, если банк предлагает 9% годовых. Какую сумму надо было бы единовременно положить в банк сегодня, чтобы достичь той же цели ? Проверьте, нарастит ли найденная сумма за 5 лет 15 000 долл.