2. Властивості інтеграла Лебега

І. Сукупність L(E) інтегрованих на Е функцій є лінійною системою і

.

Мають місце також звичайні властивості інтеграла, виражені через нерівності.

ІІ. Властивості інтеграла Лебега.

1. Якщо , то (припустимо, що інтеграл існує);

1. Якщо ;

2. якщо для всіх (або майже для всіх), то

2. Якщо , то

3. Якщо майже скрізь, то , причому обидва інтеграли існують або не існують одночасно.

4. Якщо інтегрована на Е і майже скрізь також інтегрована на Е.

5. Інтеграли існують або не існують одночасно. Крім цього справедлива теорема про граничний перехід під знаком інтеграла.

Теорема 5 (Лебега):Якщо майже скрізь на Е і для майже всіх , причому

(тобто )

Важливими є дві наступні властивості інтеграла Лебега.

1. Повна адитивність, якщо

2. Абсолютна неперервність для будь-якого знайдеться , яка залежить від функції f(x) і від таке, що якою б не була вимірна множина із мірою .

3. Інтеграл Лебега на числовій прямій.

Конкретною реалізацією абстрактного інтеграла Лебега є інтеграл Лебега на множинах числової прямої.

Нехай G – обмежена, відкрита множина на числовій прямій. Як відомо, (скінченне, або злічене число інтегралів, які взаємно не перетинаються.)

Покладемо . Якщо F – замкнена, обмежена множина і - найменший відрізок, який має усю множину, тобто , тоді множина - відкрита і покладемо .

Нехай Е – довільна обмежена множина на числовій прямій.

Означення: Зовнішня міра Е – число , де G – відкрито.

Означення: Внутрішня міра Е – число , де F – замкнено.

Означення: Якщо , то множина Е називається вимірною за Лебегом і загальне значення зовнішньої і внутрішньої міри називається мірою множини Е :

(4)

Твердження: Доводиться, що і сукупність усіх вимірних множин Е, які лежать в даному відрізку (або у скінченому інтервалі(а,в) ) є -алгеброю; що є міра в значенні даного вище визначення; вводяться поняття вимірної функції і інтеграла Лебега. , який частіше позначається . Таким чином усі факти, вказані вище для абстрактної міри та інтеграл Лебега залишаються справедливими для міри та інтеграла на числовій прямій.

Означення: Дійсна(комплексна) функція визначена і вимірна (така, що Ref i Imf вимірні) на відрізку належить класу Лебега або називається функцією із сумованим раціональним степенем, якщо , де p 1 – деяке додатне число, тут інтеграл розуміємо в значенні Лебега.

1)Якщо функції , де , то добуток - сумована на функція і - нерівність Гельдера.

2)Якщо , то - нерівність Мінковського.

4. Простір функцій, що інтегруються з показником степеня p.

Розглянемо множину функцій x(t) ,що належать . Дві функції, що відрізняються лише на множині міри нуль, вважаємо рівними.

Якщо то встановлюємо

Ця множина з заданою метрикою стає метричним простором . Простір називається функціональнім гільбертовим простором.

Означення: Нехай збігається до тобто , тоді кажуть, що послідовність функцій збігається в середньому з показником(індексом) р до функції x(t). При р=2, говорять про збіжність в середньому.