Реализовать такой фильтр можно только при условии

.

Из приведенного неравенства вытекает известное соотношение Котельникова, позволяющее выбрать частоту дискретизации

. (6)

Если это условие не выполняется, то возникает наложение спектров. Эффект наложения спектров иллюстрируется рисунком 3.в. Из него видно, что в полосу пропускания фильтра неизбежно попадает спектральная составляющая, которой нет в спектре исходного аналогового сигнала. Это вызывает искажение восстановленного сигнала.

3. Дискретизация апериодических аналоговых сигналов

Известно, что спектр апериодического аналогового сигнала x(t) определяется с использованием прямого преобразования Фурье

(7)

Для определения дискретного сигнала сначала преобразуем соотношение (3)

Воспользовавшись прямым преобразованием Фурье, найдем спектр дискретного сигнала

Сравнивая последнее соотношение с (6), выразим спектр дискретного сигнала через спектр аналогового сигнала

(8)

Таким образом, спектр дискретного сигнала с точностью до постоянного сомножителя Uτ / T_Д равен сумме спектров аналогового сигнала, сдвинутых вдоль оси частот на kω_Д. На рисунке 4 показаны спектры апериодического аналогового сигнала до и после дискретизации как в области положительных, так и в области отрицательных частот. Их отличие от линейчатых спектров периодического аналогового сигнала состоит в том, что спектральная плотность апериодического сигнала представляет собой непрерывную функцию частоты.

Рисунок 4 – Спектры апериодического аналогового сигнала до дискретизации (а), после дискретизации при отсутствии (б) и при наличии (в) наложения спектров

Как видно из рисунка при F_Д < 2F_max имеет место эффект наложения сгустков спектра дискретного сигнала.

В случае, когда нельзя по каким - либо причинам увеличить частоту дискретизации сигнала с ограниченным спектром, или аналоговый сигнал имеет неограниченный спектр, для уменьшения ошибки наложения спектров требуется предварительное ограничение спектра аналогового сигнала. Из рисунка 5 видно, что при этом ошибка наложения уменьшается.

Рисунок 5 – Уменьшение ошибки наложения за счет ограничения

спектра аналогового сигнала

4. Дискретизация узкополосных модулированных сигналов

Особый интерес представляет случай дискретизации модулированных сигналов, когда результатом цифровой обработки должно быть выделение модулирующей функции. Покажем, что при этом частота дискретизации может быть выбрана ниже частоты несущей. На рисунке 6 показан спектр аналогового синусоидального сигнала с частотой f₀ > F_Д до (а) и после (б) дискретизации. Спектр дискретного сигнала получен в соответствии с соотношением (4).

Рисунок 6 – Спектр дискретной синусоиды до (а) и после (б)

дискретизации. Частота синусоиды выше частоты дискретизации

Как и в случае, представленном на рис.2 при F < F_Д / 2, спектр дискретного сигнала представляет собой периодическую функцию частоты. Вблизи частот kF_Д имеются спектральные составляющие, отстоящие на величину F₀.

Важно отметить, что в интервале частот - интервале Котельникова - появляется составляющая спектра с частотой F₀=f₀-F_Д.

На рисунке 7 показаны временные диаграммы синусоидального сигнала x(t) до (пунктир) и после дискретизации x_д(t) при дискретизации с частотой, которая меньше частоты сигнала. Из рисунка видно, что частота дискретного синусоидального сигнала существенно меньше частоты сигнала на входе дискретизатора. Она равна частоте спектральной составляющей спектра дискретного сигнала, которая попадает в интервал Котельникова.

Рисунок 7 – Синусоидальное колебание на входе и выходе дискретизатора при дискретизации с частотой, меньшей частоты входного сигнала

На рисунке 8 изображен спектр модулированного колебания до и после дискретизации. Из него видно, что

0. в интервале Котельникова существует спектр, который по форме не отличается от спектра исходного аналогового сигнала, следовательно, закон модуляции сигнала после дискретизации остался неизменным, изменилась только частота несущей (F₀ вместо f₀),

1. частота дискретизации должна удовлетворять условию

. (9)

Последнее условие является необходимым, но недостаточным для обоснованного выбора частоты дискретизации.

Рисунок 8 – Спектр модулированного сигнала до (а) и после(б)

дискретизации

При обработке сигналов в реальном масштабе времени стремятся выбрать минимально возможное значение частоты дискретизации для того, чтобы увеличить время обработки, которое не должно превышать период дискретизации. На рисунке 9 показан случай, когда и сгустки спектра равномерно расположены вдоль оси частот. При этом частота несущей, приведенная в интервал Котельникова, равна . Для того чтобы получить такое значение приведенной частоты несущей дискретного сигнала, частота несущей аналогового сигнала должна отличаться от частоты дискретизации или ее гармоники на частоту .

Рисунок 9 – Спектр сигнала до и после дискретизации при F₀ = F_Д / 4

Спектральные диаграммы, приведенные на рисунках 10 и 11, показывают, что если это условие не выполняется, то сгустки спектра распределяются по оси частот неравномерно, в результате чего возникает наложение спектров, приводящее к искажению сигнала. Таким образом, второе условие выбора частоты дискретизации выражается следующим соотношением

, (10)

где

Рисунок 10 – Спектр сигнала до и после дискретизации

при F₀ < F_Д /4

Рисунок 11 – Спектр сигнала до и после дискретизации

при F₀ > F_Д/4

В ряде случаев только часть спектра колебания, действующего на входе дискретизатора, принадлежит полезному сигналу. Например, это имеет место при использовании одного аналогового фильтра для нескольких сигналов с разной шириной спектра и последующего применения разных цифровых фильтров для выделения каждого сигнала. Этот случай показан на рисунке 12.

Рисунок 12 – Спектры сигнала до и после дискретизации

при F_Д = ΔF+ ΔF_c

Из рисунка видно, что в данном случае можно разрешить наложение сгустков спектра там, где отсутствует спектр полезного сигнала, учитывая последующую селекцию сигнала цифровым фильтром. При этом вместо условия F_Д > 2 ΔF достаточно выполнить условие

F_Д > ΔF + ΔF_с (11)

Приложение Б

к лабораторной работе №1

Программа моделирования процесса дискретизации аналоговой синусоиды

и её восстановления из дискретной

1 // Программа "Diskret1.sce" Моделирование процесса

2 // дискретизации аналоговой синусоиды и её восстановления

3 // из дискретной

4 //

5 // Ввод исходных данных для моделирования

6 //

7 X=1; // Амплитуда синусоидального колебания

8 is=512; // Количество расчетных точек в периоде синусоиды

9 delta_t=1/512 // Временной интервал между двумя соседними

10 // расчетными точками

11 id=64; // Количество расчетных точек в периоде дискретизации

12 N=2^13; // Количество расчетных точек

13 imax=1000; // Количество расчетных точек, используемых при

14 // построении временных диаграмм

15 //

16 // Расчет частоты синусоиды и частоты дискретизации

17 F=1/(delta_t*is); // Частота синусоидального колебания

18 Td=delta_t*id; // Период дискретизации

19 Fd=1/Td; // Частота дискретизации

20 // Начальная установка (обнуление массивов)

21 x=zeros(1:N);

22 u=zeros(1:N);

23 xd=zeros(1:N);

24 sv=zeros(1:N);

25 xv=zeros(1:N);

26 for i=1:N

27 //Формирование аналоговой синусоиды

28 x(i)=X*sin(2*%pi*i/is);

29 //Формирование последовательности единичных отсчетов

30 if (i/id)-floor(i/id)==0 then

31 u(i)=1;

32 else u(i)=0;

33 end

34 // Дискретизация аналоговой синусоиды

35 xd(i)=x(i)*u(i);

36 end;

37 // Определение спектра аналоговой синусоиды

38 s=fft(x);

39 // Определение спектра дискретной синусоиды

40 sd=fft(xd);

41 // Восстановление аналоговой синусоиды из дискретной

42 k1=floor(0.5*N/id);

43 for k=1:N

44 if k<k1 then

45 sv(k)=sd(k);

46 else

47 sv(k)=0;

48 end

49 end

50 xv=ifft(sv);

51 // Формирование временных и спектральных диаграмм

52 x0=zeros(1:imax);

53 u0=zeros(1:imax);

54 xd0=zeros(1:imax);

55 xv0=zeros(1:imax);

56 for i0=1:imax

57 x0(i0)=x(i0);

58 u0(i0)=u(i0);

59 xd0(i0)=xd(i0);

60 xv0(i0)=xv(i0);

61 end

62 kmax=5*k1;

63 k=1:kmax;

64 f=zeros(1:kmax);

65 s0=zeros(1:kmax);

66 sv0=zeros(1:kmax);

67 sd0=zeros(1:kmax);

68 f=k/(delta_t*N);

69 for k=1:kmax

70 s0(k)=s(k)*2/N;

71 sd0(k)=sd(k)*2/N;

72 end

73 xbasc();

74 subplot(3,2,1);

75 i0=[1:imax];

76 t=delta_t*i0;

77 plot2d(t,x0,style=[color("blue")])

78 xtitle('Аналоговое синусоидальное колебание')

79 xgrid

80 subplot(3,2,2)

81 plot2d3(f,abs(s0),style=[color("blue")])

82 xgrid

83 xtitle('Спектр аналоговой синусоиды')

84 subplot(3,2,3)

85 plot2d3(t,u0)

86 xtitle('Последовательность единичных отсчетов')

87 subplot(3,2,4)

88 plot2d3(t,xd0)

89 xgrid

90 xtitle('Дискретная синусоида')

91 subplot(3,2,5)

92 plot2d(f,abs(sd0),style=[color("red")])

93 xgrid

94 xtitle('Спектр дискретной синусоиды')

95 subplot(3,2,6)

96 plot2d(t,xv0,style=[color("red")])

97 xgrid

98xtitle('Восстановленная аналоговая синусоида')

Приложение В

к лабораторной работе №1

Программа моделирования процесса дискретизации случайной последовательности

прямоугольных импульсов и восстановления аналогового сигнала из дискретного

1 // Программа “Diskret2.sce” Моделирование процесса

2 // дискретизации случайной последовательности прямоугольных

3 // импульсов и восстановления аналогового сигнала из дискретного

4 //

5 // Ввод исходных данных для моделирования

6 //

7 is=512; // Количество расчетных точек в элементарной посылке

8 Xmax=0.5;

9 Xmin=-0.5;

10 delta_t=1/512;

11 id=64;//Количество расчетных точек в интервале дискретизации

12 N=8192*4;

13 imax=1000; // Количество расчетных точек, используемых при

14 // построении временных диаграмм

15 //

16 // Расчет частоты дискретизации

17 Td=delta_t*id;//Интервал дискретизации

18 Fd=1/Td; //Частота дискретизации

19 //

20 //Начальная установка (обнуление массивов)

21 I=zeros(1:N);

22 x=zeros(1:N);

23 u=zeros(1:N);

24 xd=zeros(1:N);

25 x0=zeros(1:1);

26 x0=Xmax;

27 //Формирование аналогового сигнала в виде случайной

28 //последовательности элементарных посылок

29 for i=1:N

30 if (i/is)-floor(i/is)==0 then

31 I(i)=1;

32 else I(i)=0;

33 end

34 if (I(i)==1)&(rand(1)<0.5)

35 x0=Xmin;

36 elseif (I(i)==1)&(rand(1) >=0.5)

37 x0=Xmax;

38 end

39 x(i)=x0;

40 end

41 //Формирование последовательности единичных осчетов

42 for i=1:N

43 if (i/id)-floor(i/id)==0 then

44 u(i)=1;

45 else u(i)=0;

46 end

47 end

48 // Дискретизация аналогового сигнала

49 for i=1:N

50 xd(i)=x(i)*u(i);

51 end

52 // Определение спектра аналогового сигнала

53 s=fft(x);

54 // Определение спектра дискретного сигнала

55 sd=fft(xd);

56 // Восстановление аналогового сигнала из дискретного

57 k1=floor(0.5*N/id);

58 sv=zeros(1:N);

59 for k=1:N

60 if k<k1 then

61 sv(k)=sd(k);

62 else

63 sv(k)=0;

64 end

65 end

66 xv=zeros(1:N);

67 xv=ifft(sv);

68 // Формирование временных и спектральных диаграмм

69 i0=[1:imax];

70 x0=zeros(1:imax);

71 u0=zeros(1:imax);

72 xd0=zeros(1:imax);

73 xv0=zeros(1:imax);

74 for i0=1:imax

75 x0(i0)=x(i0);

76. u0(i0)=u(i0);

77 xd0(i0)=xd(i0);

78 xv0(i0)=xv(i0);

79 end

80 kmax=5*k1;

81 k=1:kmax;

82 f=zeros(1:kmax);

83 s0=zeros(1:kmax);

84 sv0=zeros(1:kmax);

85 sd0=zeros(1:kmax);

86 f=k/(delta_t*N);

87 for k=1:kmax

88 s0(k)=s(k)*2/N;

89 sd0(k)=sd(k)*2/N;

90 end

91 xbasc();

92 subplot(3,2,1);

93 i0=[1:imax];

94 t=delta_t*i0;

95 plot2d4(t,x0,style=[color("blue")])

96 xtitle('Аналоговый сигнал на входе дискретизатора')

97 xgrid

98 subplot(3,2,2)

99 plot2d3(f,abs(s0),style=[color("blue")])

100 xgrid

101 xtitle('Спектр аналогового сигнала')

102 subplot(3,2,3)

103 plot2d3(t,u0)

104 xtitle('Последовательность единичных отсчетов')

105 subplot(3,2,4)

106 plot2d3(t,xd0)

107 xgrid

108 xtitle('Дискретный сигнал')

109 subplot(3,2,5)

110 plot2d(f,abs(sd0),style=[color("red")])

111 xgrid

112 xtitle('Спектр дискретного сигнала')

113 subplot(3,2,6)

114 plot2d(t,xv0,style=[color("red")])

115 xgrid

116 xtitle('Восстановленный аналоговый сигнал')

Приложение Г

к лабораторной работе №1

Программа моделирования процесса дискретизации модулированного сигнала и

восстановления аналогового сигнала из дискретного

1 // Программа “Diskret3.sce». Моделирование процесса

2 // дискретизации модулированного сигнала и восстановления

3 // аналогового сигнала из дискретного

4 // Ввод исходных данных для моделирования

5 is=512; // Количество расчетных точек в элементарной посылке

6 // сигнала

7Xmin=-0.5; // Минимальный уровень модулирующего сигнала

8 Xmax=0.5; // Максимальный уровень модулирующего сигнала

9 delta_t=1/512; // Временной интервал между соседними

10 // расчетными точками

11 is0=51; // Количество расчетных точек в периоде несущей

12 id=64; // Количество расчетных точек в интервале дискретизации

13 N=2^13;// Общее количество расчетных точек

14 imax=5000; // Количество расчетных точек, используемых при

15 // построении временных диаграмм

16 // Расчет частоты дискретизации

17 Td=delta_t*id; // Интервал дискретизации

18 Fd=1/Td; // Частота дискретизации

19 //

20 // Начальная установка (обнуление массивов)

21 I=zeros(1:N);

22 xs=zeros(1:N);

23 u=zeros(1:N);

24 xd=zeros(1:N);

25 x0=zeros(1:1);

26 x0=Xmax;

27 for i=1:N

28 // Формирование аналогового сигнала в виде периодической

29 // последовательности элементарных посылок

30 if (i/is)-floor(i/is)==0 then

31 I(i)=1;

32 else I(i)=0;

33 end

34 if (I(i)==1)&(x0==Xmax)

35 x0=Xmin;

36 elseif (I(i)==1)&(x0==Xmin)

37 x0=Xmax;

38 end

39 x(i)=x0;

40 // Формирование модулированного сигнала

41 xs(i)=x(i)*sin(2*%pi*i/is0);

42 end

43 // Формирование последовательности единичных осчетов

44 for i=1:N

45 if (i/id)-floor(i/id)==0 then

46 u(i)=1;

47 else u(i)=0;

48 end

49 end

50 // Дискретизация аналогового сигнала

51 for i=1:N

52 xd(i)=xs(i)*u(i);

53 end

54 // Определение спектра аналогового сигнала

55 s=fft(xs);

56 // Определение спектра дискретного сигнала

57 sd=fft(xd);

58 // Восстановление аналогового сигнала из дискретного

59 k1=floor(0.5*N/id);

60 sv=zeros(1:N);

61 for k=1:N

62 if k<k1 then

63 sv(k)=sd(k);

64 else

65 sv(k)=0;

66 end

67 end

68 xv=zeros(1:N);

69 xv=ifft(sv);

70 // Формирование временных и спектральных диаграмм

71 i0=[1:imax];

72 xs0=zeros(1:imax);

73 u0=zeros(1:imax);

74 xd0=zeros(1:imax);

75 xv0=zeros(1:imax);

76 for i0=1:imax

77 xs0(i0)=xs(i0);

78 u0(i0)=u(i0);

79 xd0(i0)=xd(i0);

80 xv0(i0)=xv(i0);

81 end

82 kmax=5*k1;

83 k=1:kmax;

84 f=zeros(1:kmax);

85 s0=zeros(1:kmax);

86 sv0=zeros(1:kmax);

87 sd0=zeros(1:kmax);

88 f=k/(delta_t*N);

89 for k=1:kmax

90 s0(k)=s(k)*2/N;

91 sd0(k)=sd(k)*2/N;

92 end

93 xbasc();

94 subplot(3,2,1);

95 i0=[1:imax];

96 t=delta_t*i0;

97 plot2d(t,xs0,style=[color("blue")])

98 xtitle('Аналоговый сигнал на входе дискретизатора')

99 xgrid

100 subplot(3,2,2)

101 plot2d3(f,abs(s0),style=[color("blue")])

102 xgrid

103 xtitle('Спектр аналогового сигнала')

104 subplot(3,2,3)

105 plot2d3(t,u0)

106 xtitle('Последовательность единичных отсчетов')

107 subplot(3,2,4)

108 plot2d3(t,xd0)

109 xgrid

110 xtitle('Дискретный сигнал')

111 subplot(3,2,5)

112 plot2d(f,abs(sd0),style=[color("red")])

113 xgrid

114 xtitle('Спектр дискретного сигнала')

115 subplot(3,2,6)

116 plot2d(t,xv0,style=[color("red")])

117 xgrid

118 xtitle('Восстановленный аналоговый сигнал')

Работа №2

Исследование квантователей дискретного сигнала

1. Цель работы

Изучение алгоритмов функционирования линейных и нелинейных квантователей. Исследование влияния параметров квантователей на выходной сигнал и шумы квантования.

2. Литература

1. Приложение А к лабораторной работе №2

2. В.Г.Иванова, А.И.Тяжев. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры,

Самара, 2008г.

3. М. С. Куприянов, Б. Д. Матюшкин. Цифровая обработка сигналов. - Санкт-Петербург: Политехника, 2000, с.263-269.

4. Л. Р. Рабинер, Р.В. Шафер. Цифровая обработка речевых сигналов. -М.: Радио и связь, 1981, с.166-183.

3. Подготовка к лабораторной работе

Изучите указанную в разделе 2 литературу и ответьте на контрольные вопросы.

4. Контрольные вопросы

1. Поясните сущность операции квантования дискретных сигналов. Что такое шаг квантования? Чему равен шаг квантования при равномерном (линейном) квантовании?

2. Дайте определение характеристике квантования. Начертите характеристику квантования квантователя с постоянным шагом квантования (линейного квантователя).

3. Что такое диапазон квантователя? К чему приводит несоответствие диапазона изменения входного сигнала диапазону квантователя (диапазон изменения сигнала больше диапазона квантователя)?

4. Поясните механизм возникновения шума квантования. Начертите график вероятностного распределения шума квантования. Как связана дисперсия шума квантования с шагом квантования и количеством разрядов квантователя при равномерном квантовании?

5. Как зависит отношение сигнал/шум на выходе равномерного квантователя от количества разрядов, диапазона квантователя и среднеквадратичного уровня входного сигнала?

6. Начертите характеристику квантования квантователя с переменным шагом квантования (нелинейного квантователя).

7. Поясните сущность алгоритма функционирования нелинейного квантователя, состоящего из входного нелинейного преобразователя и линейного квантователя. Каким образом устраняются нелинейные искажения выходного сигнала при использовании нелинейного квантователя?

8. Чем отличается зависимость отношения сигнал/шум на выходе нелинейного квантователя от среднеквадратичного уровня входного сигнала от аналогичной зависимости для линейного квантователя?