2. Основные теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей

Вероятность появления какого-либо одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B+...+L)=P(A)+P(B)+...+P(L).

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного данному, равна разности между единицей и вероятностью данного события, т.е.

Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события А и в совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения событий ABC...KL равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место, т.е.

P(ABC...KL)=P(A)*P(B/A)*P(C/AB)*...*P(L/ABC...K).

В частности, вероятность произведения двух событий А и В

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).

Следствие. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(ABC...KL)=P(A)*P(B)*P(C)*...*P(L).

Отметим, что вероятность появления хотя бы одного события из совокупности любого числа совместных событий легче производить, если перейти к противоположным событиям. Тогда вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В, С,...,L равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий

Рассмотрим типовые задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Задача 1. Мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,15; во вторую - 0,23; в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.

РЕШЕНИЕ: Обозначим событие - промах, А - попадание в мишень. Тогда где - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны. По теореме сложения вероятностей:

)

откуда .

Задача 2. В урне 2 белых и три черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

РЕШЕНИЕ: Обозначим: событие А - появление двух белых шаров. Событие А представляет собой произведение двух событий:

А=

где - появление белого шара при первом вытаскивании;

- появление белого шара при втором вытаскивании.

По теореме умножения вероятностей

На практике редко встречаются задачи, в которых нужно применять только теорему умножения или сложения вероятностей. Обычно обе теоремы приходится применять совместно.

Задача 3. В урне 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимаются один за другим два шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов.

РЕШЕНИЕ: Событие С= шары разных цветов распадается на сумму двух несовместных событий:

где первый шар белый, второй черный ,

первый шар черный, второй белый .

Вероятности событий найдем по теореме умножения вероятностей.

где шар белый ,

шар черный .

По теореме сложения вероятностей

.

Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности.

Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность Р(А) появления события определяется по формуле полной вероятности:

где - вероятность гипотезы - условная вероятность события А при этой гипотезе.

Задача: Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне 2 белых шара и 1 черный шар; во второй - 3 белых и один черный; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим три гипотезы:

Н - выбор первой урны;

Н - выбор второй урны;

Н - выбор третьей урны,

и событие А - появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

По формуле полной вероятности:

Теорема гипотез (формула Байеса).

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса.

Если вероятности несовместных гипотез образующих полную группу событий, до опыта были а в результате опыта появилось событие А, то условная вероятность с учетом появления события А вычисляется по формуле Байеса:

В частном случае, если все гипотезы до опыта имеют одинаковую вероятность формула Байеса принимает вид:

Задача. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

РЕШЕНИЕ: До опыта возможны следующие гипотезы:

Н - ни первый, ни второй стрелок не попадет;

Н - оба стрелка попадут;

Н - первый попадет, а второй нет;

Н - первый стрелок не попадет, а второй попадет.

Вероятности этих гипотез:

Условные вероятности наблюденного события А при этих гипотезах равны:

Вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку в соответствии с теоремой гипотез равна:

2. Теорема сложения справедлива только для несовместимых.

3. Последовательность испытаний.

ВЫВОДЫ:

Основные правила вычисления вероятностей составных событий задаются теоремами сложения, умножения формулой полной вероятности и формулой Байеса.