2. Динамические характеристики вращательного движения абсолютно твердого тела

2.1. Основные теоретические сведения

Основными динамическими характеристиками вращательного движения являются момент силы момент инерции I, момент импульса (кинетический момент) [3].

Различают момент силы относительно точки (векторная величина) и момент силы относительно оси (скалярная величина).

Моментом силы относительно любого центра (точки) О называется физическая величина, определяемая соотношением:

(2.1)

где радиус-вектор, проведенный из центра О в точку приложения силы

Модуль момента силы рассчитывается по формуле:

(2.2)

где угол между векторами и ; плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия силы), .

Проекция вектора момента силы на любую ось, например z, проходящую через центр О, называется моментом силы относительно оси Oz и обозначается В случае, когда ось вращения твердого тела закреплена, ось Oz рекомендуется совмещать с осью вращения.

В СИ момент силы измеряется в ньютон-метрах (Нм).

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси Oz – скалярная величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращении относительно этой оси, вычисляется по формуле:

(2.3)

где плотность; объем тела.

Формулы для определения момента инерции ряда тел правильной геометрической формы относительно центральной оси симметрии приведены в таблице.

Формулы для определения момента инерции тел

правильной геометрической формы

Обруч	Диск	Шар	Стержень

Если ось вращения Oz не проходит через центр масс (центр инерции) твердого тела, то момент инерции относительно такой оси вращения определяется по теореме Штейнера:

I = I_o + mb ², (2.4)

где I_o – момент инерции тела относительно параллельной оси Oz, проходящей через центр масс (центр инерции) тела; b – расстояние между этими осями.

Моментом импульса (моментом количества движения) частицы относительно какой-либо точки О называется векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс :

= . (2.5)

В случае вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z, проходящей через центр масс тела, его моментом импульса относительно этой оси называется произведение момента инерции тела I на проекцию его угловой скорости :

. (2.6)

В СИ момент импульса измеряется в килограмм-метрах в квадрате на секунду в минус первой степени (кгм²с^1).

2.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 2.1. На тонком невесомом стержне вплотную друг к другу «нанизаны» два одинаковых шара. Диаметр каждого шара – 20 см, масса – 200 г. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через центр первого шара (рис. 2.1).

Дано:	СИ
D = 20 см m = 200 г	0,2 м 0,2 кг
I  ?

Решение.

Рис. 2.1

Момент инерции системы шаров будет равен сумме моментов инерции каждого шара. Определяем момент инерции I₁ первого шара, его ось вращения совпадает с центральной осью симметрии этого шара, поэтому в соответствии с данными таблицы записываем:

.

Для вычисления момента инерции I₂ второго шара воспользуемся теоремой Штейнера (2.4), так как ось вращения не совпадает с центральной осью этого шара:

.

Определяем момент инерции всей системы:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

.

Производим подстановку данных задачи и расчет:

.

З а д а ч а 2.2. На тонком стержне массой m₁ = 500 г и длиной l = 60 см закреплены шар массой m₂ = 90 г и радиусом R₂ = 5 см и диск массой m₃ = 150 г и радиусом R₃ = 10 см (рис. 2.2). Система вращается вокруг оси z₁ с частотой 120 об/мин. Определить момент импульса системы относительно оси вращения.

Дано:	СИ
n = 120 об/мин	2 об/с
m1 = 500 г	0,5 кг
m2 = 90 г	0,09 кг
m3 = 150 г	0,15 кг
l = 60 см	0,6 м
R2 = 5 см	0,05 м
R3 = 10 см	0,1 м
Lz1 – ?

Решение.

Рис. 2.2

Момент импульса системы относительно оси z₁ рассчитываем по формуле (2.6):

.

Момент инерции системы находим как сумму моментов инерции стержня, шара и диска.

Относительно оси z₁ момент инерции стержня определяется по формуле:

;

шара –

;

диска –

.

Расчетная формула будет иметь вид:

.

Проверяем размерность полученного выражения:

Производим подстановку данных задачи и расчет: