8.Подкольцо. Критерий подколец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Определение 33. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K.

Пример: ℤ- подкольцо кольца ℚ, ℤ- подкольцо кольца ℝ, ℚ- подкольцо кольца ℝ

Теорема 15. Пусть H≠, HK, K – кольцо.

H – подкольцо кольца K  выполняются условия

1). h₁, h₂ H: h₁+h₂ H;

2). h H: -h H.

3). h_1, h₂ H: h₁ ‧h₂ H;

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть H-подкольцо кольца K. Докажем, что выполняются условия 1)-2).Т.к. H-подкольцо кольца K H-кольцо H-аддитивная абелева группа H-подгруппа группы K выполняются условия 1) и 2).

Т.к. H-кольцо операция умножения алгебраична на H выполняется условие 3)

2) Достаточность. Пусть выполняются условия 1)-3).Докажем, что Н подкольцо кольца K. В силу определения 33, достаточно проверить, что Н-кольцо.

Т.к. выполняются условия 1) и 2) то по теореме 14 Н-подгруппа аддитивной группы K Н- аддитивная группа операция умножения является алгебраической на Н.

Т.к и в K выполняется коммутативность сложения и дистрибутивные законы Н-кольцо Н подкольцо кольца K.

Определение 34.Отображение кольца K в кольцо K , называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом, если выполняются условия:

Замечание1.Определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма,

эндоморфизма, автоморфизма колец формулируется аналогично соответствующим определениям для групп.

9. Поле. Простейшие свойства полей.

Определение 35. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим, называется полем.

Определение 35'. Непустое множество Р с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями «+» и «» называется, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля).

1. <Р,+> - абелева группа, т. е.

а) ассоциативность +, т. е. (а + b) + с = а + (b + с),  а, b, cР;

б)  0  Р: а + 0 = 0 + а = а,  аР;

в)  аР,  (-а) Р: а + (-а) = -а + а = 0;

г) коммутативность +, т. е. a + b = b + a ,  a, b P.

2. В Р выполняются дистрибутивные законы, т. е.

а) (a + b) · c = ac + bc,  a, b,c  P – правый дистрибутивный закон;

б) c· (a + b) = ca + cb,  a, b, c  P – левый дистрибутивный закон.

3. <Р^#, ⋅> - абелева группа, т. е.

а) ассоциативность «‧» ·, т. е. (ab) c = a (bc),  a, b, c  P^#;

б)  1Р^#: а⋅1 = 1⋅ а = а, а  Р^#;

в)  аР^#·:  a^-1 Р^# а ⋅ а^-1 = а^-1⋅а =1;

г) коммутативность «‧» ·, т. е. ab = ba,  a, b P^#.

Простейшие свойства полей.

Свойство 1. Для поля Р выполняются все простейшие свойства колец (св. 1–7).

Свойство 2. В поле нет делителей нуля.

Доказательство. Допустим, что  a, b P, а ≠ 0, b ≠ 0, ab = 0 (1). Т. к. b ≠ 0  bP^#   b^-1P^#. Умножим обе части (1) на b^-1 справа : (ab) b^-1 = 0· b^-1a (bb^-1) = 0  a = 0, противоречие.  в Р нет делителей нуля. Теорема доказана.

10. Подполе. Критерий подполя. Изоморфизмы полей.

Определение 36. Непустое подмножество Н поля Р называется подполем поля

Р, если Н является полем относительно тех же операций, что

и поле Р.

Теорема 16 (критерий подполя). Пусть Н ≠ , Н  Р, Р – поле.

Н – подполе поля Р выполняются условия:

1). h₁, h₂ H: h₁ +h₂ H;

2). h H: -h H.

3). h_1, h₂ H: h₁‧h₂ H;

4). h H^#: h^-1 H^#.

Доказательство. 1.Необходимость. Пусть Н – подполе поля Р  Н – поле  Н - аддитивная группа  выполняется 1) и 2).

Н^# - мультипликативная группа  выполняется 3) и 4).

2.Достаточность. Пусть выполняются условия 1)-4).Покажем, что Н – подполе поля Р. Достаточно показать, что Н –поле.

Из 1) и 2)  Н – подгруппа аддитивной группы Р  Н – аддитивная группа.

Из 3) и 4)  Н^# - подгруппа мультипликативной группы P^# Н^# - мультипликативная группа.

Т. к. Н  Р и в Р выполняются дистрибутивные законы, коммутативность «+» и «»  в Н выполняются дистрибутивные законы, коммутативность «+» и «».

Таким образом, Н – поле  Н – подполе поля Р.

Определение 37. Поля Р и Р₁ называются изоморфными, обозначаются Р  Р_1,

если они изоморфны как кольца.