Розрахунок складних кіл. Закони Кірхгофа.

До вузлів схеми застосовується перший закон Кірхгофа: сума струмів, що притікають до будь–якої точки розгалуження (вузлу), дорівнює сумі струмів, що відходять від неї. Якщо струми, що притікають до точки, вважати додатними, а такі, що відходять від неї, – від’ємними, то перший закон Кірхгофа можна сформулювати так: алгебраїчна сума струмів у вузловій точці дорівнює нулю – І = 0.

Згідно другого закону Кірхгофа, в усякому замкнутому контурі алгебраїчна сума ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруг на всіх опорах, що включені в цей контур: Е = ІR.

Розглянемо схему

В узли схеми: A, B, C, D, F.

Вітки: AB, BC, CD, BD, CF, AD, DF, ANMF.

Контури: ABDA, BCDB, CDFC, ADFMNA.

Перший закон Кірхгофа, наприклад, для вузла А визначається рівнянням: І₇ + І₈ – І₁ = 0.

Другий закон Кірхгофа, наприклад, для контуру ADFMNA визначається рівнянням:

І₈ R₁₂ – І₇ R₄ – І₆ R₅ + І₈ R₁₃ + І₈ R₁₁ + І₈ R₃ = – E₅ + E₄ + E₃.

При складанні рівнянь за другим законом Кірхгофа і обході замкнутого контуру ЕРС і струми, напрямки яких співпадають з прийнятим напрямком обходу – за годинниковою стрілкою (або проти), треба вважати додатними, а ЕРС і струми, напрямки яких протилежні напрямку обходу – від’ємними.

Перетворення трикутника опорів в еквівалентну зірку.

П ри розрахунку електричних кіл, які не вдається звести до одного результуючого опору шляхом заміни послідовно і паралельно з’єднаних опорів їх еквівалентними величинами доводиться вдаватись до більш складних перетворень. Зокрема, якщо в колі зустрічається замкнутий контур з трьох опорів R_AB, R_BC, R_CA, що утворюють сторони трикутника, то ці опори заміняють трьома опорами R_A, R_B, R_C, що з’єднані в одній вузловій точці О і утворюють трипроменеву зірку (  ).

При такому перетворенні опір між точками А і В, В і С та С і А повинні бути однаковими в обох видах з’єднання:

Аналогічно

При зворотному переході від зірки опорів до еквівалентного трикутника опорів () опори R_AB, R_BC, R_CA визначаються через опори R_A, R_B, R_C :

Відзначимо, що ці перетворення можуть бути застосовані тільки в тих випадках, коли в трикутнику опорів або зірці відсутні джерела енергії.

Використання наведених формул перетворення в розрахунках електричних кіл розглянемо на прикладі схеми, відомої під назвою міст Уітстона.

З адача: визначити струм в перемичці ВС наведеної схеми.

Вихідні дані:

Е = 32 В; R₀ = 1 Ом; R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 25 Ом; R₄ = 12,5 Ом; R₅ = 25 Ом.

Розрахунок:

Замінимо трикутник опорів R₁, R₂, R₃  еквівалентною зіркою з променями:

 

Загальний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Струми в паралельних вітках (R_B + R₅) – I_R5 і (R_C + R₄) – I_R4:

.

Ця формула походить з пропорції (струми в паралельних вітках зворотно пропорційні опорам віток) або .

З математики відома властивість пропорцій: якщо справедлива пропорція , то справедливий вираз , а в цьому випадку – . Так як I _R4 + I _R5 = І, то .

Отже , а I_R4 = І – I_R5 = 2 – 0,8 = 1,2 А.

З рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру BDCB: I_BCR₃ + I_R5R₅ – I_R4R₄ = 0, маємо:

.