1.2. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если , то их скалярное произведение равно 0.

, так как

Рассмотрим векторы в пространстве декартовой системы координат (рис. 1.5). Выберем на осях координат единичные векторы – орты. Тогда каждый вектор определяется в этой системе через их проекции на оси OX, OY, OZ.

Рис. 1.5

,

.

Длина вектора определяется по формуле:

,

, , .

Можно показать, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

,

если , .

Пример № 1.1. Найти скалярное произведение векторов.

Решение.

, ,

.

Пример № 1.2. Между точками получили два вектора и . Найти их проекции и вычислить скалярное произведение

Решение.

,

, ,

Если векторы заданы своими координатами, то угол между векторами можно определить по формуле

.

Пример № 1.3. Определить угол при вершине , если , и .

Рис. 1.6

Решение.

Найдем векторы и . Для этого из координат конца вектора вычтем координаты начала.

; ;

следовательно .

Замечание:

Если векторы параллельны, то их проекции пропорциональны:

.

1.3. Векторное произведение векторов

Определение.

Векторным произведением двух векторов и (рис. 1.7) называется такой вектор , который

1. Перпендикулярен векторам и .

2. Направлен в ту сторону, из которой кратчайший поворот от вектора к вектору происходит в направлении против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора с.

3. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Рис.1.7

Свойства векторного произведения

1. При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет знак, а модули их равны.

Если то .

2. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения.

или .

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством, т.е. векторное произведение векторов, заданных своими проекциями.

Пусть даны вектор и вектор можно доказать, что векторное произведение вычисляется определителем 3-го порядка.

Так как модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, то векторное произведение применяют для вычисления площадей.

Задача: № 1.4 Вычислить площадь с вершинами в точках

Решение.

Вектор имеет проекции:

Вектор имеет проекции:

Площадь  равна 1/2 площади параллелограмма, а  1/2 модуля векторного произведения

,

Найти площадь S грани А₁ А₂ А₃ (грань пирамиды).

Решим аналогичную задачу:

1. Даны декартовы прямоугольные координаты вершин пирамиды .

Координаты точек:

Составим векторы и

_,

_.

Найдем векторное произведение:

1.4. Векторно-скалярное произведение векторов

Смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх векторов называется число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах.

обозначение смешанного произведения векторов.

Эти три вектора некомпланарны, т.е не лежат в одной плоскости. Поэтому, если , то это необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Смешанное произведение векторов, заданных в координатах.

Если векторы заданы в координатах, т.е то смешанное произведение векторов вычисляется через определитель третьего порядка

.

Пример № 1.5.

Найти если .

Решение.

.

Задача № 1.6

Найти объём V пирамиды, данной координатами вершин пирамиды А₁(0, 1, 2), А₂(4, 3, –2) , А₃(–4, 5, 0).

Решение.

Можно доказать, что объём пирамиды равен модуля векторно-скалярного произведения, составленного из трёх векторов-рёбер, выходящих из одной вершины.

Составим векторы

.

Найдём V_{пирамиды}:

куб. ед.

V_{пирамиды} = V _{параллелепипеда} =

куб. ед.

Задача № 1.7.

Доказать компланарность векторов, проходящих через точки

А(2, –1, –2), В(1, 2, 1), С(2, 3, 0), D(5, 0, –6).

Решение.

Векторы компланарны, если они лежат в одной плоскости (рис. 1.8). Тогда объём параллелепипеда, построенного на этих векторах равен 0, т.е. смешанное произведение равно 0.

Составим векторы

Рис.1.8

,

,

.

Смешанное произведение векторов.

=(–1)( –16 – 2) – 3(0 – 12)=18+18 – 36 = 0.

Контрольные вопросы:

Что называется вектором?

Как определяются координаты вектора и его длина?

Что такое орт?

Приведите примеры коллинеарных векторов.

Что такое скалярное произведение векторов?

Чем определяется векторное произведение векторов?

Что определяет векторно-скалярное произведение векторов?

Какие вектора называются компланарными?

Сформулируйте необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Контрольные задания

Даны векторы и . Найти ; ; .

Даны точки А(3; –1), В(0; –5) и С(–2; 1). Найти

3.^* Даны точки А(4; 0), В(–1; 3) и С(5; 7). Найти ; ;

4. Найти длины векторов

5. Даны точки А(3; 5); В(–3; 3); С(5; –8). Найти длины векторов .

6.^** Дан треугольник с вершинами А(7; 7), В(4; 3), С(3; 4). Найти его периметр.

7. Найти сумму векторов и , если

8. Найти разность векторов и , если

9. Дан вектор Найти

10. Вектор задан точками и . Найти:

11.^* Векторы заданы точками A(–3; 5; 0), B(–1; 4; 2), C(0; –3; 5), D(6; –7; 8). Найти:

12.^* Вычислить длины векторов

13. Вычислить длину вектора, заданного координатами своих начала и конца вектора:

a. A(5; 3; –1), B(4; 5; 1); b. C(3; –2; –5), D(7; 6; –1).

14.^** Найти периметр треугольника с вершинами:

A(3; –2; 8), B(–1; 3; –3), C(5; 1; –7).

15. Заданы векторы, такие что , , а угол между ними равен . Найти .

16.^* Заданы векторы, такие что , , а угол между ними равен . Найти ; .

17. Найти скалярное произведение векторов, заданных своими координатами на плоскости:

a. = (5; 7), = (4; 3); b. = (2; 0), = (–3; –7);

c. = (–3; 5), = (16; 1); d. = (–3; 1), = (1; –3);

e. = (5; –7), = (7; 5); f . = (2; 0), = (0; –3).

18. Найти угол между векторами, если:

a. =(4; 0) и =(2; –2); b. =(5; –3) и =(3; 5);

c. = (–2; 3) и = (9; 12); d. = (–2; 3) и = (4; –1).

19. Найти угол между векторами и , если А(1; 6), В(1; 0), С(–2; 3).

20.^* Найти углы треугольника с вершинами А(6; 7), В(3; 3), С(1; –5).

21. Найти скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в пространстве:

a. = (1; –3; 6), = (–2; 4; 0); b. = (0; –3; 5), = (1; –1; –4); c. = (2; –5; 3), = (–1; 7; –2);

d. = (2; 6; 5), = (5; –4; –2); e. = (5; –5; 8), = (–4; 5; 2); f. = (–3; 3; –2), = (6; 1; –6).

22. Найти угол между векторами и , если А(–1; 2; 5), В(1; –4; 3), С(2; 5; 3).

23.^* Даны точки А(1; 0; –2), В(4; 3; 7), С(2; –3; 5), D(–1; 6; 0). Найти угол между векторами:

а) и ;

б) и .

24.^* Найти углы треугольника с вершинами в точках А(2; –2; 0), В(7; –3; 1), С(1; –1; 5).

25.^** Определить при каком значении m векторы (m; –3; 2) и (1; 2; –m) взаимно перпендикулярны.