Внешние возмущения в системах с обратной связью

Другим важным эффектом обратной связи в системах управления является уменьшение влияния на них внешних возмущающих сигналов. Для иллюстрации этого положения рассмотрим систему управления числа оборотов двигателя, используемого для вращения шпинделя станка при обработке закреплённой на нём заготовки, подробно рассмотренную в работе [I]. Структурная схема системы показана на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема АСР числа оборотов двигателя

Здесь R_я и L_я - соответственно сопротивление и индуктивность якорной цепи двигателя;

К_ус, К_д и К_тг - соответственно коэффициенты передачи усилителя, двигателя, тахогенератора;

I - приведённый момент инерции двигателя;

F - коэффициент, характеризующий сопротивление резанию;

U_зад, U, U_ус - соответственно задающее напряжение, рассогласование и напряжение на выходе усилителя;

М_дВ, М_В и М_нагр - соответственно момент, развиваемый двигателем, момент возмущения, обусловленного изменением усиления резания из-за неравномерности поверхности обрабатываемой детали и из-за износа резца, и момент нагрузки вращающегося инерционного тела; М_нагр=М_дв-М_в;

W - скорость вращения двигателя.

На рис. 3 показаны зависимости скорости ω от момента нагрузки на валу М_нагр для типового двигателя.

ω ω_ос

М_нагр М_нагр

0 0

Рис.3 Моментная характеристика Рис.4 Зависимость ω от М_нагр

типового двигателя для АСР

Для двигателя без обратной связи (часть структурной схемы, обведенная пунктиром) при L_я≈0 изменение скорости за счёт изменения момента возмущения можно найти по выражению

.

В случае ступенчатого возмущающего воздействия величины МВо получим М_В(р)=М_Во/p.

Отклонение скорости двигателя от её требуемого значения в установившемся режиме при действии возмущения может быть найдено с помощью предельной теоремы Лапласа

.

Рассмотрим, что произойдёт в системе с обратной связью при действии того же возмущения. Пользуясь формулой Мэзона, запишем:

(I5)

Отклонение скорости двигателя от требуемого значения (ошибку регулирования в установившемся состоянии) вновь найдём, воспользовавшись предельной теоремой Лапласа:

(16)

При большей величине коэффициента усиления усилителя, выполняющего функции пропорционального регулятора, имеем:

(I7)

Для оценки степени влияния обратной связи сравним отклонение скорости двигателя при действии возмущения МВ (t) в рассмотренных двух случаях. Отношение изменения скорости для системы с обратной связью ω_ос к изменению скорости двигателя ω будет

(18)

Кривые переходных процессов для двигателя и для АСР показаны на рис. 5.

Напомним, что «0» на графике соответствует номинальному (требуемому) значению ω, при котором ∆ω=0.

ω

без о.с.

ω(∞)

о.с. ω_ос(∞)

0 t

Рис. 5. Переходный процесс для двигателя и АСР

Одним из источников ошибок регулирования в системах является шум, генерируемый в электронных элементах систем, в транзисторах. Наиболее «шумящим» источником, как правило, является измерительное устройство. Это возмущение или шум может быть представлено так, как показано на рис. 6.

W (p)

g(p) y(p)∙

-W_пр(p) W_чэ(p)

f_ш(p)

Рис.6 Граф АСР

Здесь W (p) – передаточная функция прямого тракта; Wчэ (p) – передаточная функция чувствительного элемента; Wпр (p) – передаточная функция преобразователя.

Влияние шума на выходной сигнал y (р) можно описать следующим образом:

(19)

При для рабочих частот системы

Из выражения (20) следует, что чем больше W_чэ(p), тем меньше влияние шума на выходной, сигнал y(p) . Отсюда следует, что при проектировании следует добиваться максимума величины W_чэ(p). Это эквивалентно максимизации отношения сигнал/шум чувствительного элемента. Поскольку, как уже было сказано, функция чувствительности , необходимо, чтобы чувствительный элемент был тщательно спроектирован и обладал минимумом шумов, дрейфов и изменений параметров.

Выполнение этих требований обычно сложная, но решаемая задача, так как элементы обратной связи работают на сравнительно низких по мощности уровнях и могут быть спроектированы с небольшими затратами.

Достаточно часто шум присутствует и во входном сигнале систем g(t) , получаемом с помощью задающего устройства. В этом случае входной сигнал может быть представлен как сумма g(t)+r(t) где r(t) - шум. Система в этом случае будет передавать шум как и полезный сигнал. Однако, если частотный спектр шума и входного сигнала g(t) различны (обычно спектр шума более высокочастотен), отношение на выходе сигнал/шум может быть максимизировано выбором такой передаточной функции системы, которая имела бы низкие частоты пропускания.

Интересно заметить, что в человеческом организме различные рецепторы служат датчиками ощущений. Фраза «все болезни от нервов» находит конкретное обоснование в проведенном выше анализе, из которого следует, насколько важна роль и состояние чувствительных элементов в системах, в том числе человеческого организма, таких как система терморегуляции, стабилизации кровяного давления, пульса, стабилизации освещенности сетчатки глаза и т.п.

Цена обратной связи

Присутствие обратной связи в автоматических системах регулирования дает выгоды, описанные выше. Однако, естественно, что эти выгоды могут быть получены за счет определенных экономических затрат.

Стоимость системы возрастает за счет увеличения числа элементов системы и за счет их сложности. Для организации обратной связи не­обходимо вводить дополнительные элементы, из которых чувствительный элемент является ключевым и часто оказывается одним из самых доро­гостоящих в системе. К тому же чувствительный элемент вносит шумы и является причиной ошибки системы, которая не может быть устранена.

За использование обратной связи приходится платить также и уменьшением коэффициента усиления. Так, например, в простейшей одноконтурной системе с передаточной функцией в разомкнутом состоянии W(р) при единичной обратной связи имеем Ф(р)=W(p)/(1+W(p)), т.е Ф(р) по сравнению с W(p) уменьшается на (1+W(p)). Поскольку система управления должна обладать значительным коэффициентом усиления по мощности для приведения в действие исполнительного механизма, изменяющего состояние регулирующего органа, в случае системы с обратной связью требуются дополнительные источники энергии.

Вместе с тем, как будет показано далее, введение обратной связи может привести к неустойчивости системы, иначе к появлению нарастающей с течением времени ошибки регулирования за счет неправильно выбранных параметров системы.

Введение обратной связи усложняет задачу проектирования. Однако польза от ее применения в большинстве случаев существенно больше неудобств и дополнительных затрат.

Основными причинами для использования обратной связи, несмотря на стоимость и дополнительную сложность, являются следующие:

1. Уменьшение чувствительности АСР к изменениям параметров объекта регулирования.

2. Уменьшение влияния возмущений и шумов на систему. Иначе говоря, обратная связь позволяет системе адаптироваться к изменяющимся условиям окружения.

3. Уменьшение ошибки регулирования АСР в установившемся состоянии.

4. Возможность изменения динамических характеристик всей системы за счет изменения параметров лишь одного элемента системы - регулятора.

Принципы и законы регулирования

Основным принципом, лежащим в основе построения системы авто­матического регулирования, является принцип обратной связи. В этом случае информация об ошибке регулирования используется для форми­рования с помощью регулятора управляющего воздействия на объект регулирования. Говорят, что регулятор реализует закон (алгоритм) регулирования, т.е. реализует определенную последовательность операций по преобразованию сигнала ошибки (X) в выгодной сигнал регулятора (V).

Математически модель регулятора может быть представлена либо в виде дифференциального уравнения, либо в виде соответствующей пе­редаточной функции.

В том случае, когда для получения сигнала Y используются сведения лишь о величине ошибки X в каждый момент времени, закон регулирования имеет вид

V(t)=кх(t) (21)

и носит название пропорционального закона регулирования или со­кращенно П-закона.

Как следует из выражения (21), чем больше величина ошибки, тем больше управляющее воздействие будет оказано на объект регулирования.

Так как X(t) =g(t) - Y(t) , то при У(t)<g)(t) , т.е. при уменьшении регулируемой величины относительно ее заданного, значения g(t) будем иметь пропорциональное увеличение сигнала V(t) и наоборот: при увеличении регулируемой величины будем иметь пропорциональное уменьшение сигнала V(t).Такая организация управления связана с обратной связью, называемой "отрицательной обратной связью"(о.с.).

Если провести аналогию с оператором, функции, которого в АСР выполняет автоматическое управляющее устройство, то можно сказать, что регулятор реализует логический процесс (процесс мышления), решая насколько и в какую сторону следует изменить положение регулирующего органа.

Однако, если продолжить рассмотрение по аналогии, можно заметить, что человек - оператор, принимая решение по управлению, поль­зуется не только сиюминутной информацией. Он использует также накопленный в процессе управления опыт: сведения о последствиях принятия тех или иных решений по управлению процессом, сведения о динамических свойствах объекта (например, его инерционности) поз­воляющие предвидеть возможные изменения параметров процесса и т.д.

На рис. 7,а показаны два графика изменения ошибки регулирования. В момент времени t₁ имеем Х=0. Если в данный момент оператору необходимо было бы принимать решение по управлению на основе только величины ошибки, то очевидно, в момент времени t₁ никаких действий им не было бы предпринято. Однако опытный оператор изменит положение регулирующего органа, понимая, что в силу инерционности объекта в следующий момент времени ошибка обязательно появится. Причем для процесса 2 эта ошибка будет больше, чем для процесса I.

а б

x x

2

2

1

0 t 0 t

t₁ t₁

Рис. 7. Переходные процессы в АСР

Какая же, конкретно информация позволит ему сделать подобные заключения? Сведения о скорости изменения ошибки dx/dt в момент t₁. Так как для процесса 2 она больше, чем для процесса I, то опытный оператор не дожидаясь, когда ошибка появится, осуществит заранее изменение состояния регулирующего органа, предваряя таким образом появление ошибки. Причем, для процесса 2 величина управляющего воздействия будет выбрана им больше, чем для процесса I.

Формализуя сделанные рассуждения, можно записать, что в этом случае управление осуществляется по следующему закону:

V(t)=K₂ , (22)

который называется дифференциальным законом регулирования или сокращенно Д-законом. Передаточная функция соответствующего Д-регулятора будет

W(p)=K₂p, (23)

а его частотная передаточная функция запишется в виде:

(24)

Из выражения (24) следует, что фазочастотная характеристика положительна и равна /2 , что объясняет эффект "предварения", вносимый Д-законом регулирования.

Рассмотрим далее рис. 7,б. Порассуждаем вновь с позиций опытного оператора, наблюдающего за процессами по записям на самописце. Предпринимая определенные шаги по управлению процессом до момента времени t₁ , были получены в разное время разные графики 1 и 2. (На рисунке они совмещены). Какие выводы будут сделаны опытным оператором на основании этих кривых? Несмотря на приблизительно одинаковый разброс ошибки x(V) относительно среднего значения (для графика 1 - x=0, для графика 2 - x=x₀). В целом, кривая 2 расположена выше требуемого значения регулируемой величины. "На глаз" это отличие выражается в отличие площадей сверху и снизу от линии х=0. Учитывая это, оператор решает скорректировать свои последующие действия и в момент t₁, осуществляет дополнительное изменение положения регулирующего органа для случая 2.

Формализуем наши рассуждения. Поскольку решение принималось на основе площади, под кривой X(t) , математически это может быть за­писано в виде интеграла

(25)

выражение соответствует так называемому интегральному закону регулирования или сокращенно И–закону. Передаточная функция И - регулятора имеет вид:

(26)

а его частотная передаточная функция будет при этом равна

(27)

Как следует из выражения (27) фазочастотная характеристика .

Комментируя это обстоятельство, можно сказать, что отрицательный фазовый угол характеризует задержку во времени принятия решений, связанную с необходимостью накоплений сведений о процессе.

В зависимости от сложности решению задач по управлению рассмотренные законы регулирования могут быть применимы как порознь, так и совместно, в различных комбинациях. При этом соответствующие регуляторы, используемые в промышленности, будет иметь соответствующие названия: ПИ, ПД, ПИД. Математическая модель, например, для ПИД регулятора будет иметь вид:

. (28)

Воспользуемся вновь рассуждениями по аналогии. Рассмотрим двух операторов: опытного и новичка. Очевидно, в общем случае процессы управления будут осуществляться ими по-разному. Если новичок будет больше реагировать на сиюминутную ситуацию и придавать таким образом большой вес информации об ошибке x(t), то опытный оператор будет более полно использовать сведения о скорости изменения ошибки и учтет вместе с тем последствия своих ранее принятых решений по управлению. Иначе говоря, они придают различное значение различной информации. Условно это обстоятельство можно выразить в коэффициентах закона регулирования (28).

Так, для опытного оператора а для новичка Очевидно, что указанное различие скажется в ведении процесса, в различии характера изменения регулируемой величины.

Приведенные рассуждения позволяют сделать понятными следующие выводы:

вид закона регулирования и его коэффициенты определяют качество переходных процессов в системах автоматического регулирования;

задача проектирования АСР в простейшем случае является задачей выбора закона регулирования и его коэффициентов, или, иначе говоря, регулятора и его настроек.

Наряду с принципом обратной связи в АСР используется также принцип компенсации возмущений.

Для реализации этого принципа необходимо получать информацию о характере действующих на объект управления возмущений. Тогда, имея эту информацию, можно организовывать «встречное» управляющее воздействие на объект, тем самым компенсируя возможные последствия действия возмущения. Блок-схема системы при реализации данного принципа управления показана на рис.8.

Измерительное устройство

f

Регулятор

Исполнитель-ный механизм

Регулирую-щий орган

Объект

V U y

Рис.8. Блок-схема АСР, реализующий принцип компенсации возмущений.

Отметим, что принцип управления определяет собой структуру АСР. Так, при использовании принципа обратной связи имеем дело с замкнутой системой, а при использовании принципа управления по возмущению- с разомкнутой системой управления, так как информация об изменении регулируемой величины в этом случае не используется для управления.

Рассмотрим в качестве примера бак, в котором требуется поддерживать определенный уровень воды h. Если за основное возмущение принять расход воды из бака G_вых, то, измерив его с помощью датчика расхода, можно, используя регулятор, сформировать задающее воздействие для системы управления положением регулирующего клапана на питающем трубопроводе, как это показано на рис.9. Задача, решаемая такой АСР, будет заключаться в увеличении (уменьшении) расхода воды в бак G _вх настолько, насколько увеличивается (уменьшается) расход воды из бака. При этом уровень воды в баке будет (теоретически) оставаться постоянным.

К_Д

Рис.9. Реализация принципа управления по возмущению

На рис.9 приняты следующие обозначения:

Д - датчик расхода с коэффициентом передачи К_д;

Пр - преобразователь с коэффициентом передачи ;

Рег - регулятор с коэффициентом передачи ;

Усил - усилитель с коэффициентом передачи ;

Дв - двигатель с передаточной функцией .

Передаточная функция бака по каналу возмущающего воздействия , а по каналу управляющего воздействия .

Пунктирной линией показаны механические связи.

Для вспомогательной системы регулирования положения заслонки будет иметь

. (29)

При  Т можно принять . В этом случае передаточная функция системы будет иметь вид:

. (30)

Для необходимо, чтобы согласно уравнению(30) , т.е. выполнялось условие:

. (31)

Отсюда следует, что коэффициент передачи регулятора должен быть равен:

. (32)

Таким образом, регулятор, обеспечивающий компенсацию влияния возмущения, реализует П-закон регулирования

, (33)

где - сигнал с преобразователя .

Если инерционностью вспомогательной системы регулирования положения заслонки пренебречь нельзя, то для улучшения качества работы всей системы следует воспользоваться информацией о скорости изменения расхода, например ПД-законом регулирования:

. (34)

Одним из основных преимуществ использования принципа компенсации возмущений является повышение быстродействия АСР. Здесь одновременно с изменением возмущающего воздействия происходит изменение управляющего сигнала на объект регулирования, что позволяет не дожидаться, пока, как в системах управления с обратной связью, это возмущение повлияет на регулируемую величину. Недостатком рассматриваемого принципа является то, что на практике равенство(31) можно реализовать лишь с отделенной погрешностью. Это приводит к постоянному накоплению ошибок регулирования в процессе работы АСР.

Указанного недостатка лишены системы так называемого комбинированного управления, в которых реализованы одновременно оба рассмотренных принципа. При проектировании АСР стремятся уменьшить влияние измеряемых возмущений, реализуя принцип компенсации возмущений, оставляя на долю обратной связи устранение ошибок, возникающих как от измеряемых возмущений, так и из-за невозможности полной компенсации влияния измеряемых возмущений.

Так, например, в рассмотренном примере стабилизации уровня воды в баке, неучтенным возмущением является изменение давление воды в питающем трубопроводе. Действие данного возмущения приведет к появлению ошибки регулирования, которая в комбинированной системе будет устранена за счет обратной связи.

Для повышения точности работы систем может быть использована информация о задающем воздействии и о регулируемой величине y(t).

Существуют, наряду с линейными, нелинейные, а также адаптивные законы регулирования [2]. Однако в данном пособии ограничимся лишь линейными законами.

Блок-схема комбинированной АСР показана на рис.10.

Измерительное устройство

f

g ⊗

Регулятор

Объект

y

-

Рис.10. Блок-схема комбинированной АСР

Устойчивость автоматических систем регулирования

Задачи, связанные с понятием «устойчивость» в трудовой и познавательной деятельности человечества, многообразны. Основоположниками проблемы устойчивости можно считать Аристотеля (384-322 до н.э.) и Архимеда (287-212 до н.э.). Перечисление имен других ученых, которые занимались вопросами устойчивости на протяжении последующих веков, заняло бы слишком много места. Поэтому, ограничиваясь лишь небольшим списком, можно назвать Леонардо да Винчи, Кардано, Галилея, Ньютона, Бернулли, Эйлера, Даламбера, Лагранжа, Лапласа, Дюамеля, Пуассона, Максвелла, Вышнеградского, Жуковского, Рауса, Пуанкаре, Якоби, Фурье, Остроградского, Ляпунова. Одно перечисление ученых, связанных с нашими представлениями о сферах их деятельности, говорит о разнообразном применении понятия «устойчивость». Здесь и устойчивость положений равновесия различных тел, и устойчивость траектории брошенного тела, и устойчивость траекторий планет, и устойчивость кораблей, и устойчивость решений дифференциальных уравнений и т.п.

Прежде чем начать детальный разговор об устойчивости рассмотрим примеры.

Ракета на стартовом столе. Включаются двигатели. Ракета медленно отрывается от земли, начинает крениться и падает. Такую картину Вы могли наблюдать по документальным кадрам из истории ракетостроения. Отчего это происходит? Чтобы найти ответ зададимся другим вопросом. Можно ли при изготовлении добиться того, чтобы вектор тяги ракетного двигателя точно совпадал с продольной осью ракеты? Ясно, что речь здесь может идти не об абсолютном совпадении, а лишь о совпадении с определенной, пусть и малой, но погрешностью. Наличие же хотя бы малого расхождения являлось одной из причин появления опрокидывающего момента.

Луна

Земля

Рис.11 Иллюстрация понятия «устойчивость»

Каждый из нас в детстве пытался удержать на руке в вертикальном положении какую-нибудь палку или что-то подобное. Порой нам это удавалось. Но вот найти такое положение, при котором палка, особенно с заостренным концом, смогла бы сама по себе оставаться в вертикальном положении, оказывалось делом практически невозможным. В первом случае мы, жонглируя, управляли положением, во втором случае наш объект был неустойчив, всякий раз падал.

На этом простом примере можно обнаружить важный для дальнейшего понимания факт: объект, будучи сам по себе неустойчив, можно сделать устойчивым за счет управления им.

С другой стороны, раскачивая даже какой-то устойчиво стоящий предмет, можно его опрокинуть.

Из этого следует другой важный вывод: при определенном воздействии на устойчивый объект его можно вывести из устойчивого состояния так, что он вновь в него не вернется.

Иными словами, объект можно сделать как устойчивым, так и неустойчивым за счет управления его состоянием.

Понятие устойчивости (остойчивости) очень важно в судостроении. Вопрос об устойчивости рабочего положения корабля связан с выяснением того, что произойдет, если с помощью внешних сил изменить это положение. Вернется ли корабль вновь в исходное положение или нет после «устранения» внешних сил? Если вернется – корабль устойчив, если не вернется – неустойчив.

При изучении устойчивости корабля возникает ряд вопросов: от чего зависит - быть или не быть кораблю устойчивым, единственно ли его положение равновесия и зависит ли оно от характера и величины действующих сил. Наш практический опыт позволяет заключить, что такое положение корабля, если оно существует, единственно. Вместе с тем, зная, что устойчивость корабля связана с расположением его центра тяжести, можно заключить, что устойчивость зависит от собственных свойств корабля. И последнее: если величина действующей силы не превышает значения, при котором корабль перевернется, то какова бы ни была действующая сила, при её «снятии» корабль возвращается в исходное состояние. Отсюда следует относительная независимость устойчивости корабля от внешних сил, когда они не превышают некоторого значения. Поскольку величина возмущения выбирается здесь относительно малой, говорят, что это устойчивость «в малой». При определении устойчивости «в большом» учитывается величина действующей силы. В рассмотренном случае с кораблем можно говорить об устойчивости его «в малом» и неустойчивости «в большом». Если объект устойчив при любых возмущениях, то его называют неограниченно устойчивым.

Кроме устойчивости статического состояния существует и устойчивость движения, когда, например, рассматриваются процессы вращения Луны вокруг Земли, поддержания определенной температуры тела, давления крови, частоты пульса, стабилизации уровня воды в баке, числа оборотов двигателя и т.п. Здесь имеем дело с динамической природой равновесия. В этом случае целесообразно говорить о некоторой заданной, рабочей траектории движения, невозмущенном движении. Если на систему кроме существующих сил подействуют дополнительные внешние силы, которые затем перестанут действовать, то под их влиянием система переходит на другую, возмущенную траекторию движения, на новое возмущенное движение.

Исходное невозмущенное движение называется устойчивым, если получающееся в результате возмущения возмущенное движение с течением времени приходит вновь к невозмущенному после «снятия» возмущения.

Обозначим через y(t) невозмущенную траекторию движения регулируемой величины, через – возмущенную траекторию ее движения и через x(t) отклонение от заданной невозмущенной траектории движения:

.

Пусть на систему в момент времени подействовало возмущение, приведшее к появлению x(t). Возмущенное движение системы называется устойчивым по отношению к невозмущенному движению, если для всякого положительного числа , как бы мало оно ни было, возможно подобрать другое положительное число (), такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени выполняется неравенство:

;.

при всех t  будет выполняться неравенство:

Если возмущенное движение устойчиво и вместе с тем, если выполняется условие:

, (35)

то возмущенное движение называется асимптотическим устойчивым.

В реальном случае возмущения непрерывно действуют на АСР. Получить при этом невозмущенное движение невозможно. Оно будет изменяться в соответствии с возмущениями. Однако это не значит, что система является неустойчивой. Здесь уместно применить понятие так называемой технической устойчивости, введенное Н.Д.Моисеевым. Система автоматического регулирования называется технически устойчивой при непрерывном воздействии на нее случайных возмущений, если отклонение регулируемой величины (x(t)) от ее рабочей траектории движения по модулю не выходит за пределы некоторой малой величины  и если изменение начальных условий ее движения и возмущающее воздействие не превосходят по модулю некоторых других малых величин и (), связанных с .

Не рассматривая всех проблем, связанных с устойчивостью, ограничимся при дальнейшем изучении лишь исследованием асимптотической устойчивости «в малом». Применительно к этому случаю можно сказать, что свойство систем быть устойчивыми или нет определяется лишь их собственными свойствами (параметрами системы). Поэтому в математической трактовке исследование устойчивости будет сводиться к проверке условия (35), где x(t) – решение однородного дифференциального уравнения системы (переходная составляющая его общего решения), получаемое при равенстве нулю возмущающих воздействий (правой части дифференциальных уравнений). Другими словами, исследованию будет подлежать лишь свободное движение системы из ненулевого начального состояния, траектория которого определяется только собственными свойствами.