Практика «Применение свойств».

1.

Левая часть	Правая часть	Формула

Лекция №2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

План

1) Введение

2) Равные множества и подмножества

3) Операции над многочленами

4) Свойства

I Введение

Понятие множеств одно из основных понятий в математике, оно не определено.

-элемент а принадлежит множеству А;

-элемент а не принадлежит множеству А.

Георгий Кантор (1865-1918) – основатель теории множеств. Он писал «Множество – это многое, мыслимое, как единое целое»

Способы задания:

1. перечисление

2. указание характеристик свойства

Под характеристическим свойством будем понимать такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и которым не обладает ни один элемент, не являющийся данного множества.

II Равные множества и подмножества

Определение 1: Два А и В называют равными, если они состоят из одинаковых элементов

1)

2)

Свойства: 1 свойство рефлексивности

2 - транзитивность

3 -симметричность

Определение 2: Пусть даны А и В. Будем говорить, что А – подмножество И, если всякий элемент множества А является элементом множества В.

Свойства: 1 -транзитивность

2 -рефлексивность

3 -антисимметричность

Определение 3: -множество, которое не имеет никаких элементов

- не пустое множество, это множество, содержащее элемент Q.

Договор, что - подмножество любого множества N, Q, R, Z, C.

III Операции над многочленами

Определение 1: Объединением А и В называют множество, обозначающее , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному множеству.

Круги Эйлера- Венка

Определение 2: Пересечением А и В называют множество,, обозначающее , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно.

Определение 3: Разностью А и В называют множество, обозначающее A\B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А, но не принадлежат т. В.

Замечание 1: Очень часто в математике все рассматриваемые множества являются подмножеством какого-то фиксированного множества. Это общее множество будем называть универ. И.

Определение 4: И \ A = A – дополнение

( -все множество, не включающее А)

Замечание 2: Б(А) – множество всех подмножеств этого множества (Булеан)

Б(А)=

Например: 1)

2)

Определение: Множество всех подмножеств некоторого И с определенными там операциями ( ) называют алгеброй подмножества И.

IV Свойства

Доказательство формул:

Левая часть	Правая часть

Лекция 3.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ. ПРАВИЛО КРАМЕРА.

План

1) Определители второго и третьего порядков

2) Правило Крамера

3) Перестановки, транспозиция. Беспорядок и инверсия

1 Определители второго и третьего порядков

матрица второго порядка

Определение: Определителем второго порядка, соответствующему этой матрице, называется число, обозначаемое

Пример:

матрица третьего порядка

Определение: Определителем третьего порядка, соответствующему этой матрице, называется число:

Пример:

2 Правило Крамера

Пусть , тогда

Аналогично, и т.д.

Правило Крамера: При решении системы линейное уравнение с двумя неизвестными, определение которой +0.

и т.д. ,

Где -определение системы

- определение системы, полученной из путем замены 1 столбца столбцов свободных членов.

5 Перестановка, транспозиция

Рассмотрим , которое содержит n элементов.

Определение: Всякое расположение элементов А в определенном порядке называют перестановкой элементов данного множества.

Теорема: Число перестановок n- элементов множества А равно n.

Перестановка

Рассмотрим (1)

(2)

Совершили транспозицию.

(*) 1, 3, 2, 4 (**) 4, 2, 3, 1

С помощью транспозиции рядом стоящих чисел от одной перестановки можно перейти к другой:

Беспорядок (инверсия)

Рассмотрим . Пусть , но в перестановке стоит левее .

В этом случае образуют беспорядок или инверсию

Пример: 4, 2, 3, 1 5- инв.

Определение: Если перестановка содержит четное число инверсий, то она называется четной.

Определение: Если перестановка содержит нечетное число инверсий, то она называется нечетной.

Теорема: При совершении 1 транспозиции перестановки четность меняется, т.е.

Задачи:

Лекция №4.ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ ИЛИ ПРЕДИКАТЫ

План

1) Предикат

2) Логические операции над предикатами

3) Кванторы всеобщности и существования

4) Построение отрицания