Математические модели

Математические модели объектов управления (техноло­гических процессов) являются частью математического обеспечения АСУ ТП и представляют собой описание объекта на формальном математическом языке (алгеб­раические, дифференциальные, интегральные уравнения с соответствующими ограничениями — начальными и гра­ничными условиями), позволяющие выносить количественное суждение о параметрах процесса. При автома­тизации технологических процессов математические модели дают возможность рассчитывать изменение вы­ходных величин объекта при различных входных воздей­ствиях, а также соответствующие управляющие воздей­ствия.

Математическая модель сложного технологического процесса дает упрощенное, приближенное описание этого процесса, однако при использовании современных ЭВМ математическую модель можно усложнить практически до любого уровня точности. Вместе с тем, потребная точность и, следовательно, сложность модели зависят от ее назначения, и при разработке модели следует исходить из поставленных задач с тем, чтобы не услож­нять модели тогда, когда это не требуется.

Примерная классификация математических моделей (рис. 1.8) позволяет выяснить их основные особенности.

Рис, 1.8. Классификация математических моделей

Так, по назначению математические модели могут раз­рабатываться для технологических исследований и для управления. Первые должны давать возможность иссле­довать технологический процесс без экспериментов с целью его совершенствования, а в некоторых случаях разрабатывать новые технологические процессы. Эти мо­дели могут быть весьма сложными, поскольку они, с одной стороны, должны давать наиболее точное описание процесса, позволяющее исследовать «тонкости» техно­логии, а с другой стороны, они не ограничены временем счета на ЭВМ (ограничения могут быть только с точки зрения стоимости и расчетов). Вторые должны давать информацию для управления или рассчитывать управ­ляющие воздействия и во многих случаях могут быть проще моделей для исследования, тем более сложность модели для управления ограничена временем расчета по ним, поскольку они должны рассчитывать управление быстрее или в темпе с процессом («он лайн»). (Модель шахтной печи).

Математические модели могут быть предназначены для расчета тех выходных величин процесса, которые невозможно определить непосредственными измерениями на объекте (отсутствуют датчики), или для расчета не­которых комплексных величин, лучше характеризующих процесс, чем измеряемые величины. Такие модели назы­ваются контролирующими.

Прогнозирующие модели позволяют рассчитывать изменение выходных величин или их значения в какой-то будущий момент времени, т. е. прогнозировать ход процесса. Эти модели преимущественно используются при оптимальном управлении, поскольку предваритель­ный расчет и последующая реализация оптимальных: управляющих воздействий возможны только тогда, ког­да мы можем прогнозировать ход процесса при этих воздействиях еще до получения окончательного резуль­тата.

По свойствам во времени модели подразделяются на статические и динамические. Статические модели позво­ляют рассчитывать параметры процесса без учета времени. Это могут быть модели для расчета некоторых комплекс­ных параметров на основе измерения ряда величин в дан­ный момент времени. Например, расчет теплоусвоення ванны мартеновской печи по так называемым мгновенным обратным тепловым балансам. К статическим относят­ся также модели для расчета (прогнозирования) конеч­ных значений управляемых величин (например, конеч­ного содержания углерода в металле в конвертере) без привязки их по времени и расчета интегральных (не распределенных во времени) управляющих воздействий (например, расчет общего количества кислорода на плав­ку в конвертере). Статические модели состоят из алге­браических уравнений; очень часто таковыми являются уравнения балансов энергии или вещества. Динамичес­кие модели дают возможность рассчитывать значение выходных величин и управляющих воздействий во вре­мени и строятся на основе дифференциальных уравнений, хотя обычно в них присутствуют и алгебраические соотношения.

Модели, построенные на основе теоретических пред­ставлений о процессе и использующие физические и химические закономерности, называют детерминирован­ными (теоретическими). Строго детерминированные мо­дели можно создать только для довольно простых процес­сов. Обычно в таких моделях присутствует некоторое число экспериментальных соотношений, но за моделями сохра­няют название детерминированных, если роль экспери­ментальных соотношений невелика.

Экспериментально-статистические модели строятся в том случае, когда нет четкого представления о физике процесса или когда описываются очень сложные процес­сы. Для их построения используются экспериментальные данные или результаты длительной эксплуатации агре­гата, подвергаемые затем статистической обработке (регрессионный и корреляционный анализы).

В резуль­тате получаются вероятностные соотношения, называе­мые стохастическими моделями.

Наиболее часто применяются комбинированные мо­дели, в которых используется и детерминированный, и статистический принципы составления моделей. В таких моделях основные уравнения получены на основе теоре­тических представлений, но входящие в них коэффициен­ты определяются статистическим путем.