Методические указания по выполнению практического задания
Формализация задачи
Введем переменные: xi – количество выработанной ткани i-го артикула, i=1,2, (для 1-го артикула - десятки тыс. м2, для 2-го – сотни тыс. м2).
Целевая функция (тыс. руб.) характеризует прибыль от продажи произведенной ткани двух артикулов:
F(x1, x2) = 1.6 x1 + 6 x2
Ограничения на переменные выражают лимиты на поставку сырья, а также плановые задания:
a11 x1 + a12 x2 ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 ≤ b2
x1 ≥ 6
x2 ≥ 8
Кроме того, следует учесть неотрицательность переменных, вытекающую из их физического смысла:
xi ≥ 0, i = 1,2
Все приведенные выше зависимости носят линейный характер, поэтому данная задача представляет собой задачу линейного программирования:
F(x1, x2) = 1.6 x1 + 6 x2 → max
при a11 x1 + a12 x2 ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 ≤ b2
x1 ≥ 6
x2 ≥ 8
xi ≥ 0, i = 1,2
Решение задачи
Геометрический метод решения задачи
Геометрически как целевая функция, так и границы области ограничений в системе координат переменных x1 и x2 представляют собой прямые линии [ 2 ]:
Перемещая линию целевой функции в направлении увеличения переменных до тех пор, пока хотя бы одна её точка принадлежит области допустимых значений, получим искомое оптимальное решение X* = (x1*, x2*), при котором целевая функция получает максимальное значение Fmax =F(x1*, x2*).
Из графика видно, что оптимальным решением в данном случае будет точка С с координатами X* = (x1*, x2*) = (30, 10). Величина целевой функции при этих значениях аргументов составит F(x1*, x2*)) = 1.6 x1* + 6 x2* = 1.6*30 + 6*10 = 108.
Аналитический метод решения задачи
Переходя от нестрогих неравенств к равенствам, то есть, переводя ограничения в разряд активных ограничений, получим систему уравнений с двумя неизвестными:
a11 x1 + a12 x2 ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 ≤ b2
x1 ≥ 6
x2 ≥ 8
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Например,
x1 + 5 x2 ≤ 80
3 x1 + 6 x2 ≤ 150
Систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить любым из известных способов (методом замены переменных, методом последовательного исключения переменных, т.е. методом Гаусса, методом Крамера и т.д.). Получим: x1 = 30, x2 = 10. Необходимо проверить и выполнение других ограничений: x1 ≥ 6, x2 ≥ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 – полученное решение им удовлетворяет. Целевая функция при таких значениях аргументов будет иметь максимальное значение равное F(x1, x2) = 1.6 x1 + 6x2 = 1.6*30 + 6*10 = 108.
Выводы
Для получения максимальной прибыли в заданных условиях (расход сырья, лимиты поставок, цены на ткань различного артикула) наиболее целесообразно выпустить и продать 300 тыс. м2 ткани первого артикула и 1000 тыс. м2 ткани второго артикула. Прибыль при этом составит 108 тыс. рублей.
Общие указания по выполнению и оформлению контрольной работы
Контрольная работа по дисциплине "Моделирование и оптимизация технологических процессов" предусматривает самостоятельное изучение основной и дополнительной литературы и на этой базе - ответы на контрольные вопросы с решением практической задачи. Каждый студент выполняет вариант контрольных заданий, обозначенный последней цифрой его индивидуального шифра (номера зачетной книжки).
Отвечая на теоретический вопрос контрольных заданий, следует излагать ответ кратко и конкретно, не переписывая материал из учебника или других источников. Необходимо давать ссылки (в квадратных скобках) на литературу, которой пользовался студент при ответе на вопрос, соответственно, в конце работы следует привести весь список использованных литературных источников. Список литературы составляется в соответствии с ГОСТ 7.1. – 86.
При ответе на вопрос, который предполагает работу с периодической литературой, допускается в дополнение к основному ответу прилагать копии прочитанных статей (при этом необходимо указывать название и номер источника, год издания).
Работа оформляется либо на листах формата А4 шрифтом 14 через 2 интервала, либо в отдельной тетради. На титульном листе необходимо указать наименование вуза, название кафедры, наименование дисциплины, фамилию, имя, отчество студента, номер специальности, форму обучения, номер зачетной книжки, номер варианта контрольной работы. Выполнять работу следует разборчивым почерком, желательно черной пастой, через два интервала на каждой странице, с обязательным соблюдением ширины полей, употребляя только общепринятые сокращения слов. Ответу на каждый вопрос должна предшествовать формулировка вопроса. Для замечаний рецензента должны быть оставлены широкие (3 - 4см) поля. В конце работы дается список литературы, которой пользовался студент при выполнении работы, ставится дата выполнения и подпись.
Схемы и другой иллюстрационный материал выполняют в карандаше. Следует помнить, что если ответы контрольной работы не будут соответствовать вопросам или варианту, то работа преподавателем не рецензируется и не засчитывается.
Схемы и графические расчеты надо делать по правилам технического черчения, с учетом требований ЕСКД. Кальками и копиями чертежей из литературных источников пользоваться нельзя.