4.3 Длина дуги кривой
Если
плоская кривая задана в прямоугольной
системе координат уравнением
,
то дифференциал
длины ее дуги выражается формулой
,
а длина дуги АВ, содержащейся между двумя точками с абсциссами и , определяется формулой
.
Пример
1. Найти длину астроиды
.
Р
ешение.
Дифференцируя уравнение астроиды,
получим
.
Достаточно найти длину одной четверти
астроиды
;
.
4.4 Площадь поверхности вращения
Е
сли
поверхность образуется при вращении
дуги АМ плоской кривой вокруг оси
то дифференциал площади этой поверхности
равен площади боковой поверхности
усеченного конуса с образующей
и радиусами оснований
и
:
,
а площадь
поверхности, образованной вращением
дуги АВ, определяется формулой
,
где
– дифференциал дуги кривой.
Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги гладкой кривой между точками с абсциссами и , выражается формулой:
При вращении
дуги кривой АВ вокруг оси
.
Пример.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси
петли кривой
.
Р
ешение:
Для
верхней части кривой при
имеем:
.
Отсюда дифференциал дуги:
.
На основании формулы
получим:
